Choosing the Right Middleman: Midpoints and Polygon Areas
2014-03-25 07:13
This GeoGebra example explores the application of middlemen, such as midpoints or auxiliary figures, in area calculation and the geometric interpretation of definite integrals by constructing polygons, midpoints, and circles. It demonstrates how to use midpoints to partition polygons, combining calculus concepts to visually illustrate area relationships and help students understand the geometric e
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly6">
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<element type="segment" label="k_{10}">
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</element>
<element type="segment" label="l_{10}">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(6, 10)" a1="(9, 10)" a2="(9, 12)" a3="(6, 12)"/>
<output a0="poly7" a1="j_{11}" a2="k_{11}" a3="l_{11}" a4="m_{11}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly7">
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<element type="segment" label="j_{11}">
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</element>
<element type="segment" label="k_{11}">
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</element>
<element type="segment" label="l_{11}">
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<condition showObject="o3"/>
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="m_{12}">
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
<input a0="(0, 8)" a1="(3, 8)" a2="(3, 10)" a3="(0, 10)"/>
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<element type="polygon" label="poly15">
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<element type="segment" label="d_{13}">
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<element type="segment" label="e_{13}">
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<element type="segment" label="f_{13}">
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<element type="segment" label="g_{13}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(15, 6)" a1="(18, 6)" a2="(18, 8)" a3="(15, 8)"/>
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</command>
<element type="polygon" label="poly16">
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<element type="segment" label="h_{13}">
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</element>
<element type="segment" label="i_{13}">
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<element type="segment" label="j_{13}">
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</element>
<element type="segment" label="k_{13}">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(12, 6)" a1="(15, 6)" a2="(15, 8)" a3="(12, 8)"/>
<output a0="poly17" a1="l_{13}" a2="m_{13}" a3="n_{13}" a4="p_{13}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly17">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
<input a0="(9, 10)" a1="(10, 10)" a2="(10, 11)" a3="(9, 11)"/>
<output a0="poly22_3" a1="m_{17}" a2="n_{17}" a3="p_{17}" a4="q_{17}"/>
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<element type="polygon" label="poly22_3">
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<element type="segment" label="m_{17}">
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<element type="segment" label="n_{17}">
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<element type="segment" label="p_{17}">
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</element>
<element type="segment" label="q_{17}">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(8, 10)" a1="(9, 10)" a2="(9, 11)" a3="(8, 11)"/>
<output a0="poly22_4" a1="m_{18}" a2="n_{18}" a3="p_{18}" a4="q_{18}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_4">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o4"/>
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<element type="segment" label="m_{18}">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o4"/>
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</element>
<element type="segment" label="n_{18}">
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<condition showObject="o4"/>
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<element type="segment" label="p_{18}">
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
<input a0="(0, 10)" a1="(1, 10)" a2="(1, 11)" a3="(0, 11)"/>
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<element type="polygon" label="poly22_{12}">
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<element type="segment" label="p_{26}">
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<element type="segment" label="q_{26}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(12, 9)" a1="(13, 9)" a2="(13, 10)" a3="(12, 10)"/>
<output a0="poly22_{13}" a1="m_{27}" a2="n_{27}" a3="p_{27}" a4="q_{27}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_{13}">
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<element type="segment" label="m_{27}">
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<element type="segment" label="n_{27}">
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<element type="segment" label="p_{27}">
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<element type="segment" label="q_{27}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(11, 9)" a1="(12, 9)" a2="(12, 10)" a3="(11, 10)"/>
<output a0="poly22_{14}" a1="m_{28}" a2="n_{28}" a3="p_{30}" a4="q_{30}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_{14}">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="n_{36}">
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<element type="segment" label="q_{38}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(2, 9)" a1="(3, 9)" a2="(3, 10)" a3="(2, 10)"/>
<output a0="poly22_{23}" a1="m_{37}" a2="n_{37}" a3="p_{39}" a4="q_{39}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_{23}">
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<element type="segment" label="m_{37}">
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<element type="segment" label="n_{37}">
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<element type="segment" label="p_{39}">
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<element type="segment" label="n_{45}">
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<element type="segment" label="q_{47}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(6, 8)" a1="(7, 8)" a2="(7, 9)" a3="(6, 9)"/>
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</command>
<element type="polygon" label="poly22_{32}">
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<element type="segment" label="n_{46}">
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<element type="segment" label="p_{48}">
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<element type="segment" label="q_{48}">
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<condition showObject="o4"/>
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<command name="Polygon">
<input a0="(5, 8)" a1="(6, 8)" a2="(6, 9)" a3="(5, 9)"/>
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</command>
<element type="polygon" label="poly22_{33}">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly22_{41}">
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<element type="segment" label="m_{55}">
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<element type="segment" label="n_{55}">
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<element type="segment" label="q_{57}">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(9, 7)" a1="(10, 7)" a2="(10, 8)" a3="(9, 8)"/>
<output a0="poly22_{42}" a1="m_{56}" a2="n_{56}" a3="p_{58}" a4="q_{58}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_{42}">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="segment" label="m_{56}">
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</element>
<element type="segment" label="n_{56}">
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</element>
<element type="segment" label="p_{58}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(0, 7)" a1="(1, 7)" a2="(1, 8)" a3="(0, 8)"/>
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<element type="polygon" label="poly22_{51}">
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<element type="segment" label="n_{65}">
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<element type="segment" label="q_{67}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(12, 6)" a1="(13, 6)" a2="(13, 7)" a3="(12, 7)"/>
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<element type="polygon" label="poly22_{52}">
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<element type="segment" label="m_{66}">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="n_{74}">
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<element type="segment" label="q_{76}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(3, 6)" a1="(4, 6)" a2="(4, 7)" a3="(3, 7)"/>
<output a0="poly22_{61}" a1="m_{75}" a2="n_{75}" a3="p_{77}" a4="q_{77}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_{61}">
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<element type="segment" label="m_{75}">
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<element type="segment" label="n_{75}">
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<element type="segment" label="p_{77}">
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