Exploring the Area of a Parallelogram
2014-03-13 04:10
This GeoGebra applet explores the area of an oblique parallelogram. Using transformations like translation and rotation, it visually shows how to convert a slanted parallelogram into an equal-area rectangle to derive the area formula. Combining vector and construction commands, it helps students grasp area conservation and shape transformation in plane geometry.
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<input a0="(i * x(C), m * x(C) * i)" a1="i" a2="0" a3="n"/>
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<element type="list" label="list2">
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<command name="Sequence">
<input a0="Polygon[Element[list2, i], Element[list1, i], Element[list2, i + 1]]" a1="i" a2="1" a3="n"/>
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<element type="list" label="list3">
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<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
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<command name="Sequence">
<input a0="If[t < i, 0, If[t < i + 1, t - i, 1]]" a1="i" a2="0" a3="n' - 1"/>
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<element type="list" label="list_t">
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<input a0="Polygon[Element[list1, i], Element[list2, i + 1], Element[list1, i + 1]]" a1="i" a2="1" a3="n"/>
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<element type="list" label="list4">
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<labelMode val="0"/>
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<command name="Sequence">
<input a0="Translate[Element[list3, i], Vector[(0, 0), (2 * Min[Element[list_t, i], 0.5] * (x(E) - (i - 1) * x(C)), 0)]]" a1="i" a2="1" a3="n"/>
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<element type="list" label="list5">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="l"/>
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<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="-1"/>
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<command name="Sequence">
<input a0="Translate[Translate[Element[list4, i], Vector[(0, 0), (2 * Min[Element[list_t, i], 0.5] * (x(E) - (i - 1) * x(C)), 0)]], Vector[(0, 0), (2 * Max[Element[list_t, i] - 0.5, 0] * base, 0)]]" a1="i" a2="1" a3="n"/>
<output a0="list6"/>
</command>
<element type="list" label="list6">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="l"/>
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<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
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<command name="If">
<input a0="more" a1="Polygon[A, (n' * x(C), y(A)), Element[list1, n'], Element[list2, n']]"/>
<output a0="last1"/>
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<element type="polygon" label="last1">
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<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="1.0"/>
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<command name="If">
<input a0="more" a1="Polygon[D, (n' * x(C), y(A)), Element[list1, n']]"/>
<output a0="last2"/>
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<element type="polygon" label="last2">
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="false" label="false"/>
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<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<command name="If">
<input a0="more" a1="Translate[last1, Vector[(2 * Min[Element[list_t, n'], 0.5] * (n * base + x(E)), 0)]]"/>
<output a0="last1'"/>
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<element type="polygon" label="last1'">
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
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<condition showObject="l"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="1.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
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<command name="If">
<input a0="more" a1="Translate[Translate[last2, Vector[(2 * Min[Element[list_t, n'], 0.5] * (n * base + x(E)), 0)]], Vector[(2 * Max[Element[list_t, n'] - 0.5, 0] * base, 0)]]"/>
<output a0="last2'"/>
</command>
<element type="polygon" label="last2'">
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="l"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="1.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="J" a1="A"/>
<output a0="i"/>
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<element type="segment" label="i">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="-6.0" z="24.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
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<command name="Segment">
<input a0="I" a1="B"/>
<output a0="j"/>
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<condition showObject="o"/>
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<command name="Rotate">
<input a0="J" a1="90*°" a2="I"/>
<output a0="J'"/>
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<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="I" a1="J"/>
<output a0="u"/>
</command>
<element type="vector" label="u">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="3"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="I"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="J" a1="I"/>
<output a0="v"/>
</command>
<element type="vector" label="v">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="-2" y="0"/>
<labelMode val="3"/>
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<coords x="0.0" y="-4.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="J"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="I" a1="J"/>
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</command>
<element type="point" label="K">
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<expression label="text1" exp=""高""/>
<element type="text" label="text1">
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<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<command name="Midpoint">
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<labelMode val="0"/>
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<expression label="text2" exp=""底""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<startPoint exp="L"/>
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</element>
<expression label="text3" exp=""平行四邊形的面積 = ""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<absoluteScreenLocation x="74" y="376"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""底 × 高""/>
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o ∧ p"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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</element>
<element type="boolean" label="l">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="484" y="21"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="SetValue[t,0]"/>
<caption val="分割平行四邊形"/>
</element>
<element type="boolean" label="o">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="l"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<caption val="結論"/>
</element>
<element type="boolean" label="p">
<value val="false"/>
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<condition showObject="o"/>
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<caption val="答案"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""拖拉藍點，將著色部份移到長方形內。""/>
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="l"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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</element>
<command name="Angle">
<input a0="J" a1="I" a2="Translate[I, Vector[If[x(I) > x(C), Vector[C], Vector[-C]]]]"/>
<output a0="α"/>
</command>
<element type="angle" label="α">
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<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
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<expression label="xmax" exp="ceil(x(Corner[3]))" />
<element type="numeric" label="xmax">
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</element>
<expression label="xmin" exp="floor(x(Corner[1]))" />
<element type="numeric" label="xmin">
<value val="-14.0"/>
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</element>
<expression label="ymax" exp="ceil(y(Corner[3]))" />
<element type="numeric" label="ymax">
<value val="7.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="ymin" exp="floor(y(Corner[1]))" />
<element type="numeric" label="ymin">
<value val="-3.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(0 + i, ymax), (0 + i, ymin)]" a1="i" a2="0" a3="ceil(xmax)"/>
<output a0="list7_1"/>
</command>
<element type="list" label="list7_1">
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</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(-i, ymax), (0 - i, ymin)]" a1="i" a2="1" a3="ceil(abs(xmin))"/>
<output a0="list7_2"/>
</command>
<element type="list" label="list7_2">
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<command name="Sequence">
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<output a0="list8_2"/>
</command>
<element type="list" label="list8_2">
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</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(xmin, i), (xmax, i)]" a1="i" a2="0" a3="ceil(ymax)"/>
<output a0="list8_1"/>
</command>
<element type="list" label="list8_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="153" g="153" b="153" alpha="0.0"/>
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<element type="boolean" label="q">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<ggbscript onUpdate="ShowGrid[q]"/>
<caption val="顯示格線"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_b">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<element type="boolean" label="show_a">
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<element type="boolean" label="show_c">
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<show object="false" label="true"/>
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<element type="boolean" label="show_d">
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<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
</element>
<expression label="text6" exp=""點擊邊顯示它的長度。""/>
<element type="text" label="text6">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<element type="boolean" label="show_{height}">
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<show object="false" label="true"/>
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<element type="boolean" label="show_e">
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<element type="boolean" label="show_f">
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<element type="boolean" label="show_g">
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<element type="boolean" label="show_h">
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<ggbscript val="SetValue[show_{height}, !show_{height}] ShowLabel[r, show_{height}]"/>
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<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="%v cm"/>
</element>
</construction>
</geogebra>