Secant Lines and Areas in Exponential and Logarithmic Functions
2018-11-18 15:35
This GeoGebra applet explores exponential and logarithmic functions by constructing secant lines, calculating slopes, and visualizing areas. Using vectors and sequences, it dynamically displays points and intersections on function graphs. Users can adjust parameters to observe changes in secant slopes and function terms. It helps understand graphical characteristics, derivatives, and integral conc
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Exploring the Area of a Parallelogram
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<input a0="J" a1="I"/>
<output a0="v"/>
</command>
<element type="vector" label="v">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="-2" y="0"/>
<labelMode val="3"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="0" y="-4" z="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="J"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="I" a1="J"/>
<output a0="K"/>
</command>
<element type="point" label="K">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="2" y="2" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""高""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1" size="0" style="1"/>
<startPoint exp="K"/>
<labelOffset x="-36" y="8"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="b"/>
<output a0="L"/>
</command>
<element type="point" label="L">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.5" y="0" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""底""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1" size="0" style="1"/>
<startPoint exp="L"/>
<labelOffset x="-8" y="30"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""平行四邊形的面積 = ""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false" ev="11"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1" size="0" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="9" y="230"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""底 × 高""/>
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false" ev="11"/>
<condition showObject="o ∧ p"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1" size="0" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="234" y="230"/>
</element>
<element type="boolean" label="o">
<value val="false"/>
<show object="false" label="false" ev="3"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="352" y="157"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="結論"/>
</element>
<element type="boolean" label="p">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false" ev="3"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="352" y="207"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="答案"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="J" a1="I" a2="Translate[I, Vector[If[x(I) > x(C), Vector[C], Vector[(-C)]]]]"/>
<output a0="α"/>
</command>
<element type="angle" label="α">
<angleStyle val="1"/>
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
</element>
<expression label="xmax" exp="ceil(x(Corner[3]))" />
<element type="numeric" label="xmax">
<value val="9"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="xmin" exp="floor(x(Corner[1]))" />
<element type="numeric" label="xmin">
<value val="-13"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="ymax" exp="ceil(y(Corner[3]))" />
<element type="numeric" label="ymax">
<value val="6"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="ymin" exp="floor(y(Corner[1]))" />
<element type="numeric" label="ymin">
<value val="-4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<element type="boolean" label="q">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="18" y="1"/>
<labelMode val="3"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="ShowGrid[q]"/>
<caption val="格線"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_b">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_a">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_c">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_d">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_{height}">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_e">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_f">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_g">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_h">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="I" a1="J"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="segment" label="r">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="-8" y="10"/>
<labelMode val="3"/>
<ggbscript val="SetValue[show_{height}, !show_{height}]
ShowLabel[r, show_{height}]"/>
<coords x="-4" y="0" z="8"/>
<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="%v cm"/>
</element>
<expression label="M" exp="((n' * x(C)), y(A))" type="point" />
<element type="point" label="M">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-9" y="4" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Polygon[Element[list1, i], Element[list2, i], Element[list2, i + 1], Element[list1, i + 1]]" a1="i" a2="1" a3="n - 1"/>
<output a0="l_{11}"/>
</command>
<element type="list" label="l_{11}">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="l_{12}" exp="{Polygon[A, M, Element[list1, n + 1], If[n ≥ 1, Element[list1, n], B], If[n ≥ 1, Element[list2, n], B]]}" />
<element type="list" label="l_{12}">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="listplast" exp="{If[more, Polygon[D, M, Element[list1, n']]]}" />
<element type="list" label="listplast">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.20000000298023224"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="C - (0, 1)" a1="B - (0, 1)"/>
<output a0="s"/>
</command>
<element type="vector" label="s">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <coords x="3" y="0" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint x="-3" y="-1" z="1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Polygon[D, A, Element[list2, i], Element[list1, i]]" a1="i" a2="1" a3="n"/>
<output a0="l1'"/>
</command>
<element type="list" label="l1'">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="a_1" exp="(t * r)" />
<element type="numeric" label="a_1">
<value val="0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="t < 1" a1="0" a2="If[t ≥ 1 ∧ t ≤ 2, t - 1, 1]"/>
<output a0="t2"/>
</command>
<element type="numeric" label="t2">
<value val="0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<algebra labelVisible="false"/></element>
<command name="If">
<input a0="t < 2" a1="0" a2="If[t ≥ 2 ∧ t ≤ 3, t - 2, 1]"/>
<output a0="t3"/>
</command>
<element type="numeric" label="t3">
<value val="0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="t < 3" a1="0" a2="If[t ≥ 3 ∧ t ≤ 4, t - 3, 1]"/>
<output a0="t4"/>
</command>
<element type="numeric" label="t4">
<value val="0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="t < 4" a1="0" a2="If[t ≥ 4 ∧ t ≤ 5, t - 4, 1]"/>
<output a0="t5"/>
</command>
<element type="numeric" label="t5">
<value val="0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="Union">
<input a0="l_{11}" a1="l_{12}"/>
<output a0="l1"/>
</command>
<element type="list" label="l1">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="l0" exp="{Polygon[B, C, Element[list2, 1]]}" />
<element type="list" label="l0">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="l0'" exp="{Polygon[{A, B, C, D}]}" />
<element type="list" label="l0'">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="num" exp="n' + more" />
<element type="numeric" label="num">
<value val="4"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="RemoveUndefined">
<input a0="Union[l0, l1]"/>
<output a0="listp"/>
</command>
<element type="list" label="listp">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="movedlistplast" exp="{Translate[Element[listplast, 1], Vector[(If[t ≥ 0 ∧ t ≤ 1, t, 1] * w) + (If[t ≤ 1, 0, t > 1 ∧ t ≤ num, t - 1] * s)]]}" />
<element type="list" label="movedlistplast">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.20000000298023224"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Translate[Element[listp, i], Vector[(If[t ≥ 0 ∧ t ≤ 1, t, 1] * w) + (If[t ≤ 1, 0, t > 1 ∧ t ≤ i, t - 1, i - 1] * s)]]" a1="i" a2="1" a3="n' + If[¬more, 1, 0]"/>
<output a0="movedlistp"/>
</command>
<element type="list" label="movedlistp">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.20000000298023224"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Union">
<input a0="list1" a1="{D}"/>
<output a0="list1'"/>
</command>
<element type="list" label="list1'">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Union">
<input a0="Sequence[((i * x(C)), ((m * x(C)) * i)), i, 0, n]" a1="{A}"/>
<output a0="list2'"/>
</command>
<element type="list" label="list2'">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[Element[list1', i], Element[list1', i + 1]]" a1="i" a2="1" a3="n'"/>
<output a0="lists1"/>
</command>
<element type="list" label="lists1">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Translate[Element[lists1, i], Vector[(If[t ≥ 0 ∧ t ≤ 1, t, 1] * w) + (If[t ≤ 1, 0, t > 1 ∧ t ≤ i + 1, t - 1, i] * s)]]" a1="i" a2="1" a3="n' + If[¬more, 1, 0]"/>
<output a0="movedlists1"/>
</command>
<element type="list" label="movedlists1">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<condition showObject="t > 0"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[Element[list2', i], Element[list2', i + 1]]" a1="i" a2="1" a3="n'"/>
<output a0="lists2"/>
</command>
<element type="list" label="lists2">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Translate[Element[lists2, i], Vector[(If[t ≥ 0 ∧ t ≤ 1, t, 1] * w) + (If[t ≤ 1, 0, t > 1 ∧ t ≤ i, t - 1, i - 1] * s)]]" a1="i" a2="1" a3="n' + If[¬more, 1, 0]"/>
<output a0="movedlists2"/>
</command>
<element type="list" label="movedlists2">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<condition showObject="t > 0"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Union">
<input a0="Sequence[(x(F), ((m * x(C)) * i)), i, 0, n]" a1="{G}"/>
<output a0="list3"/>
</command>
<element type="list" label="list3">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[Element[list3, i], Element[list3, i + 1]]" a1="i" a2="1" a3="n'"/>
<output a0="lists3"/>
</command>
<element type="list" label="lists3">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Translate[Element[lists3, i], Vector[(If[t ≤ i, 0, If[t ≥ i ∧ t < i + 1, t - i, 1]] * s)]]" a1="i" a2="1" a3="n'"/>
<output a0="movedlists3"/>
</command>
<element type="list" label="movedlists3">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<condition showObject="t > 1"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="movedbasel" exp="{Segment[Translate[B, Vector[(If[t < 1, t, 1] * w)]], Translate[C, Vector[(If[t < 1, t, 1] * w)]]]}" />
<element type="list" label="movedbasel">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="movedbaseu" exp="{Segment[Translate[A, Vector[(If[t < 1, t, 1] * w) + (If[t < 1, 0, t - 1] * s)]], Translate[D, Vector[(If[t < 1, t, 1] * w) + (If[t < 1, 0, t - 1] * s)]]]}" />
<element type="list" label="movedbaseu">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="x(D') < x(G)"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/> <lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Translate">
<input a0="D" a1="Vector[(If[t < 1, t, 1] * w) + (If[t < 1, 0, t - 1] * s)]"/>
<output a0="D'"/>
</command>
<element type="point" label="D'">
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<expression label="text7" exp=""拖拉藍點，將著色部份移到長方形內。
平行四邊形的面積是多少？""/>
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<expression label="text5" exp=""如何計算平行四邊形的面積？""/>
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