三角形重心、垂心、内心、外心、欧拉线与九点圆图解
2018-01-18 08:27
本范例详细演示了三角形的四个重要特殊点（重心、垂心、内心、外心）的几何构造方法，并进一步展示了欧拉线（连接重心、垂心和外心的直线）以及九点圆的性质。通过线段、中点、垂线、角平分线及圆等基础几何作图命令，直观呈现了这些经典几何元素之间的位置关系与内在联系，适合用于平面几何的深入学习与教学演示。
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="f_1">
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<element type="boolean" label="o">
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="g_1">
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="h_1">
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
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<element type="boolean" label="u">
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<command name="LineBisector">
<input a0="A" a1="B"/>
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</command>
<element type="line" label="i_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="LineBisector">
<input a0="B" a1="C"/>
<output a0="j_1"/>
</command>
<element type="line" label="j_1">
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="LineBisector">
<input a0="C" a1="A"/>
<output a0="k_1"/>
</command>
<element type="line" label="k_1">
<show object="true" label="false"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
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</command>
<element type="point" label="外心">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
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<labelMode val="0"/>
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<coords x="295.7517057187816" y="53.763082901061125" z="59.15034114375631"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
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<element type="boolean" label="v">
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<checkbox fixed="true"/>
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</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="內心" a1="f"/>
<output a0="l_1"/>
</command>
<element type="line" label="l_1">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-7.677412917807169" y="0.0" z="42.705871048433025"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="l_1" a1="f"/>
<output a0="M"/>
</command>
<element type="point" label="M">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="w"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="427.0587104843303" y="-0.0" z="76.77412917807169"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="l_1" a1="d"/>
<output a0="N"/>
</command>
<element type="point" label="N">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="w"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="330.9791634940495" y="137.76088320402513" z="59.501507473115076"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="內心" a1="M"/>
<output a0="c_1"/>
</command>
<element type="conic" label="c_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="w"/>
<objColor r="220" g="20" b="60" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="30.941785459120283" A3="0.0" A4="-5.562534086108622" A5="-2.315250302965357"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="內心" a1="g"/>
<output a0="m_1"/>
</command>
<element type="line" label="m_1">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="4.510200575856725" y="4.541215931897756" z="-35.60219600054715"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="內心" a1="h"/>
<output a0="n_1"/>
</command>
<element type="line" label="n_1">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-3.1672123419504445" y="4.541215931897756" z="7.1036750478858774"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="n_1" a1="h"/>
<output a0="O"/>
</command>
<element type="point" label="O">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="w"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="297.9197174032139" y="145.32321025540023" z="39.92735116281933"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="m_1" a1="g"/>
<output a0="P"/>
</command>
<element type="point" label="P">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="w"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="209.14993972903935" y="210.58820388992407" z="53.357233501882135"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="內心" a1="M"/>
<output a0="p_1"/>
</command>
<element type="segment" label="p_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="w"/>
<objColor r="220" g="20" b="60" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="2.315250302965357" y="0.0" z="-12.878658728118113"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="內心" a1="O"/>
<output a0="q_1"/>
</command>
<element type="segment" label="q_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="w"/>
<objColor r="220" g="20" b="60" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-1.3244404359165745" y="1.8990106627110581" z="2.970560057630287"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="內心" a1="P"/>
<output a0="r_1"/>
</command>
<element type="segment" label="r_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="w"/>
<objColor r="220" g="20" b="60" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-1.6315098655972755" y="-1.642729291100617" z="12.878658728118111"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="w">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="226" y="158"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="內切圓"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="外心" a1="A"/>
<output a0="d_1"/>
</command>
<element type="conic" label="d_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="a_1"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="5.662137425588298E-15" A3="0.0" A4="-5.000000000000001" A5="-0.9089226175449735"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<element type="boolean" label="a_1">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="226" y="216"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="外接圓"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="垂心" a1="外心"/>
<output a0="s_1"/>
</command>
<element type="segment" label="s_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="b_1"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<coords x="3.188266261740712" y="-0.8746359276777484" z="-15.146354931919827"/>
<lineStyle thickness="13" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="b_1">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="111" y="271"/>
<labelMode val="3"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="尤拉線(選擇重心垂心外心)"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="垂心" a1="A"/>
<output a0="Q"/>
</command>
<element type="point" label="Q">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="o_1"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="2.9373179638388747" y="2.0485944396428426" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="Q" a1="D" a2="J"/>
<output a0="e_1"/>
</command>
<element type="conic" label="e_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o_1"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<lineStyle thickness="13" type="20" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="29.37317963838874" A3="0.0" A4="-5.437317963838874" A5="-2.5030557484153277"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="垂心" a1="C"/>
<output a0="R"/>
</command>
<element type="point" label="R">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="o_1"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="5.874635927677749" y="5.006111496830658" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="垂心" a1="B"/>
<output a0="S"/>
</command>
<element type="point" label="S">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="o_1"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="7.937317963838875" y="2.0485944396428426" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="boolean" label="o_1">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="113" y="322"/>
<labelMode val="3"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="九點圓(選擇重心、垂心、外心)"/>
</element>
</construction>
</geogebra>