选择合适的“中间人”：多边形中点与面积探究
2014-03-25 07:13
本GeoGebra范例通过构建多边形、中点和圆等几何对象，探讨几何图形中的“中间人”（如中点或辅助图形）在面积计算与定积分几何意义中的应用。范例展示了如何利用中点分割多边形，结合微积分与定积分思想，直观演示面积关系的推导过程，帮助学生深入理解数形结合与积分的几何本质。
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<command name="Circle">
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<command name="Circle">
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly6">
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<element type="segment" label="j_{10}">
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<element type="segment" label="k_{10}">
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</element>
<element type="segment" label="l_{10}">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(6, 10)" a1="(9, 10)" a2="(9, 12)" a3="(6, 12)"/>
<output a0="poly7" a1="j_{11}" a2="k_{11}" a3="l_{11}" a4="m_{11}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly7">
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<element type="segment" label="j_{11}">
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="k_{11}">
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</element>
<element type="segment" label="l_{11}">
<show object="true" label="false"/>
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="p_{11}">
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<element type="segment" label="q_{11}">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="b_{12}">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="d_{12}">
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<element type="segment" label="e_{12}">
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<element type="segment" label="f_{12}">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="h_{12}">
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<element type="segment" label="i_{12}">
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<element type="segment" label="j_{12}">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="l_{12}">
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<element type="segment" label="m_{12}">
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<element type="segment" label="n_{12}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(6, 8)" a1="(9, 8)" a2="(9, 10)" a3="(6, 10)"/>
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<element type="polygon" label="poly13">
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<element type="segment" label="p_{12}">
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<element type="segment" label="q_{12}">
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<element type="segment" label="r_{12}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(3, 8)" a1="(6, 8)" a2="(6, 10)" a3="(3, 10)"/>
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</command>
<element type="polygon" label="poly14">
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<element type="segment" label="t_{12}">
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<element type="segment" label="a_{13}">
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<element type="segment" label="b_{13}">
<show object="true" label="false"/>
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<element type="segment" label="c_{13}">
<show object="true" label="false"/>
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<command name="Polygon">
<input a0="(0, 8)" a1="(3, 8)" a2="(3, 10)" a3="(0, 10)"/>
<output a0="poly15" a1="d_{13}" a2="e_{13}" a3="f_{13}" a4="g_{13}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly15">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<condition showObject="o3"/>
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<element type="segment" label="d_{13}">
<show object="true" label="false"/>
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<element type="segment" label="e_{13}">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o3"/>
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</element>
<element type="segment" label="f_{13}">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o3"/>
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</element>
<element type="segment" label="g_{13}">
<show object="true" label="false"/>
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(15, 6)" a1="(18, 6)" a2="(18, 8)" a3="(15, 8)"/>
<output a0="poly16" a1="h_{13}" a2="i_{13}" a3="j_{13}" a4="k_{13}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly16">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o3"/>
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<element type="segment" label="h_{13}">
<show object="true" label="false"/>
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</element>
<element type="segment" label="i_{13}">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o3"/>
<objColor r="0" g="102" b="102" alpha="0.0"/>
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</element>
<element type="segment" label="j_{13}">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o3"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="k_{13}">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o3"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(12, 6)" a1="(15, 6)" a2="(15, 8)" a3="(12, 8)"/>
<output a0="poly17" a1="l_{13}" a2="m_{13}" a3="n_{13}" a4="p_{13}"/>
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<element type="polygon" label="poly17">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="d_{14}">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly20">
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<element type="segment" label="h_{14}">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly21">
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<element type="segment" label="l_{14}">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly22">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly22_1">
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<command name="Polygon">
<input a0="(10, 10)" a1="(11, 10)" a2="(11, 11)" a3="(10, 11)"/>
<output a0="poly22_2" a1="m_{16}" a2="n_{16}" a3="p_{16}" a4="q_{16}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_2">
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<element type="segment" label="n_{16}">
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<element type="segment" label="p_{16}">
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<element type="segment" label="q_{16}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(9, 10)" a1="(10, 10)" a2="(10, 11)" a3="(9, 11)"/>
<output a0="poly22_3" a1="m_{17}" a2="n_{17}" a3="p_{17}" a4="q_{17}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_3">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<condition showObject="o4"/>
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<element type="segment" label="m_{17}">
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<element type="segment" label="n_{17}">
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<element type="segment" label="p_{17}">
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<element type="segment" label="q_{17}">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(8, 10)" a1="(9, 10)" a2="(9, 11)" a3="(8, 11)"/>
<output a0="poly22_4" a1="m_{18}" a2="n_{18}" a3="p_{18}" a4="q_{18}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_4">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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</element>
<element type="segment" label="m_{18}">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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</element>
<element type="segment" label="n_{18}">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o4"/>
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="p_{26}">
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<element type="segment" label="q_{26}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(12, 9)" a1="(13, 9)" a2="(13, 10)" a3="(12, 10)"/>
<output a0="poly22_{13}" a1="m_{27}" a2="n_{27}" a3="p_{27}" a4="q_{27}"/>
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<element type="polygon" label="poly22_{13}">
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<element type="segment" label="m_{27}">
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<element type="segment" label="n_{27}">
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<element type="segment" label="p_{27}">
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<element type="segment" label="q_{27}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(11, 9)" a1="(12, 9)" a2="(12, 10)" a3="(11, 10)"/>
<output a0="poly22_{14}" a1="m_{28}" a2="n_{28}" a3="p_{30}" a4="q_{30}"/>
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="q_{37}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(3, 9)" a1="(4, 9)" a2="(4, 10)" a3="(3, 10)"/>
<output a0="poly22_{22}" a1="m_{36}" a2="n_{36}" a3="p_{38}" a4="q_{38}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_{22}">
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<element type="segment" label="m_{36}">
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<element type="segment" label="n_{36}">
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<element type="segment" label="p_{38}">
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<element type="segment" label="q_{38}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(2, 9)" a1="(3, 9)" a2="(3, 10)" a3="(2, 10)"/>
<output a0="poly22_{23}" a1="m_{37}" a2="n_{37}" a3="p_{39}" a4="q_{39}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_{23}">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<condition showObject="o4"/>
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<element type="segment" label="m_{37}">
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<element type="segment" label="n_{37}">
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<element type="segment" label="p_{39}">
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<element type="segment" label="q_{47}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(6, 8)" a1="(7, 8)" a2="(7, 9)" a3="(6, 9)"/>
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</command>
<element type="polygon" label="poly22_{32}">
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<element type="segment" label="n_{46}">
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<element type="segment" label="p_{48}">
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<element type="segment" label="q_{48}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(5, 8)" a1="(6, 8)" a2="(6, 9)" a3="(5, 9)"/>
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</command>
<element type="polygon" label="poly22_{33}">
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<element type="segment" label="m_{55}">
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<element type="segment" label="q_{57}">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(9, 7)" a1="(10, 7)" a2="(10, 8)" a3="(9, 8)"/>
<output a0="poly22_{42}" a1="m_{56}" a2="n_{56}" a3="p_{58}" a4="q_{58}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_{42}">
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<element type="segment" label="m_{56}">
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</element>
<element type="segment" label="n_{56}">
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<element type="segment" label="p_{58}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(0, 7)" a1="(1, 7)" a2="(1, 8)" a3="(0, 8)"/>
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<element type="polygon" label="poly22_{51}">
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<element type="segment" label="n_{65}">
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<element type="segment" label="q_{67}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(12, 6)" a1="(13, 6)" a2="(13, 7)" a3="(12, 7)"/>
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<element type="polygon" label="poly22_{52}">
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<element type="segment" label="m_{66}">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="n_{74}">
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<element type="segment" label="q_{76}">
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<command name="Polygon">
<input a0="(3, 6)" a1="(4, 6)" a2="(4, 7)" a3="(3, 7)"/>
<output a0="poly22_{61}" a1="m_{75}" a2="n_{75}" a3="p_{77}" a4="q_{77}"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22_{61}">
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<element type="segment" label="m_{75}">
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<element type="segment" label="n_{75}">
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<element type="segment" label="p_{77}">
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