平面方程式与法向量的几何演示
2015-11-30 06:35
本 GeoGebra 范例直观演示了三维空间中平面方程式与法向量的几何关系。通过构建点、线段、多边形和向量，模型展示了法向量如何垂直于平面内的任意直线。结合三角函数计算，用户可动态观察法向量的方向角变化及其对平面方程系数的影响。此工具适用于立体几何与解析几何教学，帮助学习者深入理解空间平面的代数表达与几何特征。
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon3d" label="poly1">
<lineStyle thickness="1" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="segment3d" label="q1">
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<element type="segment3d" label="q2">
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<element type="segment3d" label="q3">
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<element type="segment3d" label="q4">
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<command name="Vector">
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<element type="vector3d" label="u">
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<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="2"/>
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<command name="Vector">
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<element type="vector3d" label="v">
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<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="2"/>
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<command name="Segment">
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<element type="segment3d" label="segBC">
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<command name="Segment">
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<element type="segment3d" label="segAD">
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<command name="Angle">
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<command name="Angle">
<input a0="O" a1="A" a2="D"/>
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<element type="angle3d" label="β">
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<expression label="E" exp="O + n" type="point" />
<element type="point3d" label="E">
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<labelMode val="3"/>
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<pointSize val="1"/>
<caption val="(a, b, c)"/>
</element>
<expression label="F" exp="D + B - A" type="point" />
<element type="point3d" label="F">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.495660731221545" y="-1.7742825804614242" z="6.157404149924934" w="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D" a1="F"/>
<output a0="segDF"/>
</command>
<element type="segment3d" label="segDF">
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="2"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="F"/>
<output a0="segBF"/>
</command>
<element type="segment3d" label="segBF">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="D" a1="F" a2="B"/>
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</command>
<element type="angle3d" label="γ">
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<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="showPlane2"/>
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="O" a1="A" a2="D"/>
<output a0="poly3" a1="d_1" a2="o" a3="a_1"/>
</command>
<element type="polygon3d" label="poly3">
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
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</element>
<element type="segment3d" label="d_1">
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<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
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<auxiliary val="false"/>
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment3d" label="o">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
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<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment3d" label="a_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
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<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="O" a1="B" a2="C"/>
<output a0="poly4" a1="c_1" a2="o_1" a3="b_1"/>
</command>
<element type="polygon3d" label="poly4">
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.25"/>
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</element>
<element type="segment3d" label="c_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
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<auxiliary val="false"/>
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment3d" label="o_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment3d" label="b_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="showPlane2">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="22" y="22"/>
<labelMode val="0"/>
<caption val="顯示另一平面"/>
</element>
<element type="boolean" label="showXYZ">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="23" y="457"/>
<labelMode val="0"/>
<ggbscript onUpdate="ShowAxes[3, showXYZ]"/>
<caption val="顯示座標軸"/>
</element>
<element type="numeric" label="scale">
<value val="2.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="G" a1="G + (scale * a)"/>
<output a0="a3"/>
</command>
<element type="vector3d" label="a3">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="0.8122538374905627" y="-1.8276333613397007" z="0.0" w="0.0"/>
<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="2"/>
<startPoint exp="G"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="G" a1="G + (scale * b)"/>
<output a0="b3"/>
</command>
<element type="vector3d" label="b3">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="153" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="1.71080153769681" y="0.7603303504814414" z="0.7036020585181637" w="0.0"/>
<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="2"/>
<startPoint exp="G"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="G" a1="G + (scale * c)"/>
<output a0="c3"/>
</command>
<element type="vector3d" label="c3">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="-0.6429632976275426" y="-0.2857517360488191" z="1.872149604932523" w="0.0"/>
<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="2"/>
<startPoint exp="G"/>
</element>
<element type="plane3d" label="f">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="99" g="219" b="219" alpha="0.5"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="0.0" y="1.0" z="0.0" w="0.0"/>
<fading val="0.1"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""(x_0, y_0, z_0)""/>
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false" ev="20"/>
<condition showObject="showPlane2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="D"/>
<labelOffset x="-80" y="8"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""(x,y,z)""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false" ev="20"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="C"/>
<labelOffset x="1" y="-42"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""" + (LaTeX[((v * n)) / sqrt((n * n))]) + """ />
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="showPlane2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="5" style="1"/>
<startPoint exp="A"/>
<labelOffset x="10" y="9"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""" + (LaTeX[((u * n)) / sqrt((n * n))]) + """ />
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="5" style="1"/>
<startPoint exp="B"/>
<labelOffset x="13" y="-24"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""(a,b,c)""/>
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false" ev="20"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<startPoint exp="O + n"/>
<labelOffset x="-42" y="-41"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="P1" a1="Q1"/>
<output a0="seg1"/>
</command>
<element type="segment3d" label="seg1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="showPlane2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="2"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="P2" a1="Q2"/>
<output a0="seg2"/>
</command>
<element type="segment3d" label="seg2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="showPlane2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="2"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="P3" a1="Q3"/>
<output a0="seg3"/>
</command>
<element type="segment3d" label="seg3">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="showPlane2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="2"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="P4" a1="Q4"/>
<output a0="seg4"/>
</command>
<element type="segment3d" label="seg4">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="showPlane2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="2"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
</construction>
</geogebra>