双曲线的几何性质与圆锥截面构造
2017-11-09 04:46
本GeoGebra范例通过三维圆锥与平面的截面交线动态构造双曲线，并深入演示其核心几何性质。内容涵盖焦点、准线、渐近线及轨迹的几何作图，利用向量、正交线等工具揭示双曲线的对称性。适合解析几何教学，直观展现立体几何到平面解析几何的降维映射过程。
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<caption val="焦點"/>
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<expression label="text1_1" exp=""雙曲線是圓錐被平面所截的截痕， \\從射影幾何的觀點，可視為一個圓， \\經過 A點中心投影到另一個平面的軌跡， \\觀察E點的動態，E點何時消失在螢幕外， \\又從何處回歸?""/>
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<expression label="text1" exp=""在上下半部都可以找到一個球，同時 \\內切於圓錐與平面，球與平面的切點 \\Z、U 即是雙曲線的焦點。""/>
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<expression label="text2" exp=""雙曲線上任一點P到兩焦點Z,U的連線, \\有|\overline{PZ}-\overline{PU}|為定值""/>
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<expression label="text3" exp=""P、Z在上球切平面上,且Z是切點 \\所以\overline{PZ}是上球的切線 \\又,\overrightarrow{PA}是圓錐表面的射線,\overline{PA}切上球於A_1 \\⇒\overline{PZ}=\overline{PA_1} \\同樣的,可以得到\overline{PU}=\overline{PD_1} \\⇒\overline{PZ}-\overline{PU}=\overline{PA_1}-\overline{PD_1}=\overline{A_1D_1} \\即兩球與圓錐切圓的距離,為定值。""/>
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<expression label="text4" exp=""從Z點發射至雙曲線上P點的光線， \\反射線的方向延長線會通過U點。""/>
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<expression label="text5" exp=""\\做\angle ZPU的角平分線L \\則U對L的對稱點U'會落在\overline{PZ}上 \\且\overline{PU}=\overline{PU'} \\⇒\overline{PZ}-\overline{PU}=\overline{PZ}-\overline{PU'}=\overline{ZU'} \\對L上異於P的點Q \\\overline{QZ}-\overline{QU}=\overline{QZ}-\overline{QU'}<\overline{ZU'} \\⇒Q不在雙曲線上 \\⇒L與雙曲線僅交一點P,L為切線 \\\overrightarrow{ZP}在P點的反射方向即是\overrightarrow{UP}方向""/>
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