更相减损术的几何表示
2018-10-18 12:41
本范例通过几何图形直观演示了中国古代数学算法“更相减损术”（即求最大公约数的算法）的执行过程。利用多边形、迭代列表和序列等GeoGebra命令，动态展示两个整数在不断相减过程中的几何面积或线段变化，帮助学习者从几何视角深刻理解最大公约数的计算原理与算法步骤。
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="5.0" version="5.0.477.0" app="classic" platform="d" id="ea491ba5-7145-4445-9c06-69cb81057ffb" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="1366" height="768" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.31991215226939973" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="4097" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1,1,1,1" size="400" window="333,109,700,550" />
<view id="512" toolbar="0 | 1 501 5 19 , 67 | 2 15 45 18 , 7 37 | 514 3 9 , 13 44 , 47 | 16 | 551 550 11 , 20 22 21 23 , 55 56 57 , 12 | 69 | 510 511 , 512 513 | 533 531 , 534 532 , 522 523 , 537 536 , 535 | 521 520 | 36 , 38 49 560 | 571 30 29 570 31 33 | 17 | 540 40 41 42 , 27 28 35 , 6 , 502" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,1,1" size="500" window="100,100,600,400" />
<view id="4" toolbar="0 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,1" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 || 1008 1009 || 66 68 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="897" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="3" size="437" window="100,100,600,400" />
<view id="16" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" toolbar="0" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
</views>
<toolbar show="true" items="0 39 73 62 | 1 501 67 , 5 19 , 72 75 76 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 14 68 | 30 29 54 32 31 33 | 25 17 26 60 52 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6 | 100001" position="1" help="false" />
<input show="true" cmd="true" top="algebra" />
<dockBar show="true" east="true" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="0"/>
<font size="12"/>
</gui>
<euclidianView>
<viewNumber viewNo="1"/>
<size width="897" height="575"/>
<coordSystem xZero="310.5012811806924" yZero="536.1827843994222" scale="27.367573866680274" yscale="27.36757386668034"/>
<evSettings axes="true" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="1" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="3"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="9" grid="0"/>
<axis id="0" show="true" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="true" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="2" spreadsheet="0"/>
<coordStyle val="0"/>
</kernel>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="" author="" date="">
<element type="point" label="A">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<javascript onUpdate="var a,b,c a=ggbApplet.getValue("a") b=ggbApplet.getValue("b") c=counttimes(a,b) ggbApplet.setValue("steps",0) ggbApplet.setValue("n",c)"/>
<coords x="15.437931066797823" y="10.201225207592245" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="DynamicCoordinates">
<input a0="A" a1="abs(round(x(A)))" a2="abs(round(y(A)))"/>
<output a0="B"/>
</command>
<element type="point" label="B">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="15.0" y="10.0" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="a" exp="x(B)" />
<element type="numeric" label="a">
<value val="15.0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="b" exp="y(B)" />
<element type="numeric" label="b">
<value val="10.0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<element type="numeric" label="n">
<value val="3.0"/>
<symbolic val="true" />
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<slider min="0" max="100" absoluteScreenLocation="true" width="200.0" x="30.0" y="90.0" fixed="false" horizontal="true" showAlgebra="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<animation speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<element type="numeric" label="steps">
<value val="0.0"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<slider min="0" max="n" absoluteScreenLocation="true" width="200.0" x="88.0" y="78.0" fixed="false" horizontal="true" showAlgebra="true"/>
<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(0, 0)" a1="(x(B), 0)" a2="B" a3="(0, y(B))"/>
<output a0="q1" a1="f" a2="g" a3="b_1" a4="h"/>
</command>
<element type="polygon" label="q1">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="f">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="0.0" y="15.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="g">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="-10.0" y="0.0" z="150.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b_1">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="0.0" y="-15.0" z="150.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="h">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="10.0" y="0.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="IterationList">
<input a0="(If[x(P) ≥ y(P), x(P) - y(P), x(P)], If[x(P) ≥ y(P), y(P), y(P) - x(P)])" a1="P" a2="{(a, b)}" a3="n"/>
<output a0="L"/>
</command>
<element type="list" label="L">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="If[x(L(i)) ≟ x(L(i + 1)), Polygon[L(i + 1), L(i), 4], Polygon[L(i), L(i + 1), 4]]" a1="i" a2="1" a3="steps"/>
<output a0="L_1"/>
</command>
<element type="list" label="L_1">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.4000000059604645"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<listType val="polygon"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""更相减损术的几何表示""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<bgColor r="224" g="224" b="224" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="60" y="7"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""" + (LaTeX[B]) + """ />
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="true" ev="20"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="B"/>
<labelOffset x="6" y="-23"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="a ≤ 0 ∨ b ≤ 0" a1=""无意义"" a2=""" + (y(L(-1)))"/>
<output a0="text4"/>
</command>
<element type="text" label="text4">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""" + (LaTeX[a]) + "和" + (LaTeX[b]) + "的最大公约数" + (LaTeX[text4]) + """ />
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="true" ev="8"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="5" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="89" y="101"/>
</element>
<command name="TableText">
<input a0="{Take[L, 1, steps + 1]}" a1=""vc|_""/>
<output a0="text5"/>
</command>
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="true" ev="8"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="5" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="103" y="144"/>
</element>
</construction>
</geogebra>