圆内接四边形的对角互补性质
2024-12-27 02:30
本范例动态演示圆内接四边形（cyclic quadrilateral）的对角互补定理。通过在圆上取四个点 A、B、C、D 构造内接四边形，利用 GeoGebra 的 Angle 与 Segment 命令实时度量各内角 α、β、γ、δ，并验证对角之和恒为 180°。拖动顶点可观察角度变化，直观理解圆周角与圆心角的关系，适用于初中及高中平面几何教学。
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="5.0" version="5.2.871.0" app="classic" platform="w" id="81c7f529-a2ff-40cb-8c15-8b8f905606c1" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/apps/xsd/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="800" height="600" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.25" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="4097" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1,1" size="400" window="165,101,952,550" />
<view id="4" toolbar="0 59 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,1" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 | 1011 || 1008 1009 || 66 68 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="3" size="200" tab="ALGEBRA" window="477,48,325,704" />
<view id="16" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" toolbar="0" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="128" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="480" window="50,50,500,500" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="512" toolbar="0 | 1 501 5 19 , 67 | 2 15 45 18 , 7 37 | 514 3 9 , 13 44 , 47 | 16 | 551 550 11 , 20 22 21 23 , 55 56 57 , 12 | 69 | 510 511 , 512 513 | 533 531 , 534 532 , 522 523 , 537 536 , 535 | 521 520 | 36 , 38 49 560 | 571 30 29 570 31 33 | 17 | 540 40 41 42 , 27 28 35 , 6 , 502" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="300" window="50,50,500,500" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="" size="598" window="100,100,600,400" />
</views>
<toolbar show="false" items="0 39 59 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 | 30 29 54 32 31 33 | 17 26 62 73 , 14 66 68 | 25 52 60 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6" position="1" help="false" />
<input show="false" cmd="true" top="false" />
<dockBar show="false" east="false" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="3"/>
<font size="20"/>
</gui>
<euclidianView>
<viewNumber viewNo="1"/>
<size width="797" height="597"/>
<coordSystem xZero="283.22628252359846" yZero="218.0099706655487" scale="50.53519054974261" yscale="50.58897443111347"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="10"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<spreadsheetView>
<dimensions rows="100" columns="26"/></spreadsheetView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="0" spreadsheet="0"/>
<coordStyle val="0"/>
</kernel>
<tableview min="0" max="0" step="0"/>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="" author="" date="">
<element type="point" label="A">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-1" y="-1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="3.181421020232414" y="2.9850372015581677" z="1"/>
</element>
<element type="point" label="B">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-20" y="-5"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="0.07467504199251107" y="2.2931868449620048" z="1"/>
</element>
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-20" y="32"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="-0.10341867650531755" y="-1.0474620197451778" z="1"/>
</element>
<element type="point" label="D_1">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="6.1892260437513" y="-0.9881605606083637" z="1"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="B" a1="A" a2="C"/>
<output a0="c"/>
</command>
<element type="conic" label="c">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="specific"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="-2.611148618441706" A3="0" A4="-2.102180283697643" A5="-0.5100266584423323"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="c" a1="Line[A, D_1]" a2="2"/>
<output a0="D'"/>
</command>
<element type="point" label="D'">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="4.7771964145695485" y="0.8770776841945568" z="1"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="Distance[D_1, D'] < 0.15" a1="true" a2="false"/>
<output a0="near"/>
</command>
<element type="boolean" label="near">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<command name="DynamicCoordinates">
<input a0="D_1" a1="If[near, x(D'), x(D_1)]" a2="If[near, y(D'), y(D_1)]"/>
<output a0="D"/>
</command>
<element type="point" label="D">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="6.1892260437513" y="-0.9881605606083637" z="1"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A" a1="B" a2="C"/>
<output a0="α"/>
</command>
<element type="angle" label="α">
<angleStyle val="1"/>
<value val="4.440010827872878"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="35"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="11" y="28"/>
<labelMode val="2"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="B"/>
<output a0="a"/>
</command>
<element type="segment" label="a">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<startStyle val="default"/>
<endStyle val="default"/>
<coords x="0.6918503565961629" y="-3.1067459782399025" z="7.072685053507007"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="C"/>
<output a0="b"/>
</command>
<element type="segment" label="b">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<startStyle val="default"/>
<endStyle val="default"/>
<coords x="3.3406488647071826" y="-0.17809371849782862" z="0.15893907817534375"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="D"/>
<output a0="d"/>
</command>
<element type="segment" label="d">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<startStyle val="default"/>
<endStyle val="default"/>
<coords x="3.9731977621665315" y="3.0078050235188862" z="-21.618824768334406"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D" a1="C"/>
<output a0="e"/>
</command>
<element type="segment" label="e">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<startStyle val="default"/>
<endStyle val="default"/>
<coords x="0.05930145913681417" y="-6.292644720256618" z="-6.585173469800063"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A" a1="D" a2="C"/>
<output a0="β"/>
</command>
<element type="angle" label="β">
<angleStyle val="1"/>
<value val="0.9322388130527222"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="35"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-72" y="-11"/>
<labelMode val="2"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""拖拉 D 點。當 ABCD 成為一個圓內接四邊形時，你有甚麼發現？ ""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<absoluteScreenLocation x="11" y="27"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""\boxed\text{如 ABCD 是一個圓內接四邊形，\\
∠A + ∠C = 180° and ∠B + ∠D = 180°.\\
【 簡寫：圓內接四邊形對角 】}""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="f ∧ located"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="16" y="439"/>
</element>
<element type="boolean" label="f">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="located"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="16" y="402"/>
<labelMode val="3"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="定理："/>
</element>
<command name="If">
<input a0="α + β ≟ 180°" a1="true" a2="false"/>
<output a0="located"/>
</command>
<element type="boolean" label="located">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="B" a1="A" a2="D"/>
<output a0="γ"/>
</command>
<element type="angle" label="γ">
<angleStyle val="0"/>
<value val="1.9996600385908616"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="30"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-44" y="33"/>
<labelMode val="2"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="D" a1="C" a2="B"/>
<output a0="δ"/>
</command>
<element type="angle" label="δ">
<angleStyle val="0"/>
<value val="1.5081119762292943"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="30"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="255" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="15" y="-15"/>
<labelMode val="2"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""∠A + ∠C = \darkgreen{" + (LaTeX[γ]) + "} + \magenta{" + (LaTeX[δ]) + "} = " + (LaTeX[γ + δ]) + "\\
∠B + ∠D =\blue{" + (LaTeX[α]) + "}+\red{" + (LaTeX[β]) + "}=" + (LaTeX[α + β]) + """ />
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false" ev="8"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="205" y="349"/>
</element>
</construction>
</geogebra>