圆锥曲线的光学性质演示
2017-11-08 15:45
本范例动态演示圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的光学反射性质。通过构造入射光线、切线、法线及反射光线，直观展示光线经圆锥曲线反射后的路径规律：椭圆中从一个焦点发出的光线经反射后汇聚到另一焦点；抛物线中从焦点发出的光线反射后平行于对称轴；双曲线中光线的反射特性。利用Ray、Tangent、Mirror、OrthogonalLine等命令构建光路，结合Angle命令验证入射角与反射角相等，帮助理解圆锥曲线在光学器件设计中的应用原理。
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<element type="numeric" label="e">
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<command name="Point">
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</command>
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
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<element type="segment" label="p">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="q">
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<element type="boolean" label="o">
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<element type="point" label="D">
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<pointSize val="1"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""\frac{x^2}{" + (LaTeX[a]) + " ^2}-\frac{y^2}{ " + (LaTeX[b]) + "^2}=1"" />
<element type="text" label="text4">
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<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
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</element>
<expression label="r" exp="sqrt(a^(2) + b^(2))" />
<element type="numeric" label="r">
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<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="G" exp="((-r), 0)" type="point" />
<element type="point" label="G">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
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</element>
<expression label="H" exp="(r, 0)" type="point" />
<element type="point" label="H">
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<caption val="F_2"/>
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<element type="boolean" label="t">
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<checkbox fixed="true"/>
<caption val="Q到兩焦點距離差"/>
</element>
<command name="Ray">
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<element type="ray" label="s">
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</element>
<command name="Mirror">
<input a0="A" a1="g"/>
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<element type="point" label="I">
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<coords x="5.510522752128685" y="8.27500412693838" z="1"/>
<pointSize val="1"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Ray">
<input a0="Q" a1="I"/>
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</command>
<element type="ray" label="f_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 3"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-6.7810942067018285" y="2.041745663689893" z="20.471920117166036"/>
<lineStyle thickness="4" type="15" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="G" a1="Q"/>
<output a0="g_1"/>
</command>
<element type="segment" label="g_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="Q" a1="H"/>
<output a0="h_1"/>
</command>
<element type="segment" label="h_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Mirror">
<input a0="H" a1="g"/>
<output a0="H'"/>
</command>
<element type="point" label="H'">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<condition showObject="o ∧ n_1 ≟ 3"/>
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<layer val="0"/>
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<labelMode val="3"/>
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<coords x="4.511509641144562" y="-0.37400851433142285" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<caption val="F_2'"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="H'" a1="Q"/>
<output a0="i_1"/>
</command>
<element type="segment" label="i_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="o ∧ n_1 ≟ 3"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
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<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="C" a1="G"/>
<output a0="j_1"/>
</command>
<element type="segment" label="j_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="o ∧ n_1 ≟ 3"/>
<objColor r="255" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="C" a1="H'"/>
<output a0="k_1"/>
</command>
<element type="segment" label="k_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="o ∧ n_1 ≟ 3"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="C" a1="H"/>
<output a0="l_1"/>
</command>
<element type="segment" label="l_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="o ∧ n_1 ≟ 3"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="c_1" exp="y = (d * x^(2))" type="conic" />
<element type="conic" label="c_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="0" y0="1" z0="1.0" x1="-1" y1="0" z1="1.0"/>
<matrix A0="-1.6" A1="0" A2="0" A3="0" A4="0" A5="4"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
</element>
<expression label="a_1" exp="1 / ((4 * d))" />
<element type="numeric" label="a_1">
<value val="1.25"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="J" exp="(0, a_1)" type="point" />
<element type="point" label="J">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="3"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0" y="1.25" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<caption val="F"/>
</element>
<expression label="m_1" exp="y = (-a_1)" type="line" />
<element type="line" label="m_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0" y="1" z="1.25"/>
<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
</element>
<command name="PointIn">
<input a0="c_1"/>
<output a0="K"/>
</command>
<element type="point" label="K">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
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<labelMode val="3"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="1.7575721891290843" y="2.02" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="2"/>
<caption val="P"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="c_1"/>
<output a0="L"/>
</command>
<element type="point" label="L">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0"/>
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<labelMode val="3"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
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<coords x="-1.2903111581204982" y="0.33298057695405225" z="1"/>
<pointSize val="1"/>
<pointStyle val="0"/>
<caption val="Q"/>
</element>
<command name="Tangent">
<input a0="L" a1="c_1"/>
<output a0="p_1" a1=""/>
</command>
<element type="line" label="p_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="(k ∨ o) ∧ n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="2.064497852992797" y="4" z="1.331922307816209"/>
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="L" a1="p_1"/>
<output a0="q_1"/>
</command>
<element type="line" label="q_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="k ∧ n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<coords x="-4" y="2.064497852992797" z="-5.848682318691937"/>
<lineStyle thickness="3" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<expression label="text6" exp=""y=" + (LaTeX[d]) + "x^2"" />
<element type="text" label="text6">
<show object="true" label="false" ev="43"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="45" y="292"/>
</element>
<command name="Mirror">
<input a0="K" a1="q_1"/>
<output a0="K'"/>
</command>
<element type="point" label="K'">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-1.6808328436572098" y="3.7946449519767333" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="2"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="L" a1="K'"/>
<output a0="u_1"/>
</command>
<element type="vector" label="u_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-0.3905216855367115" y="3.461664375022681" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="L"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="K" a1="L"/>
<output a0="v_1"/>
</command>
<element type="vector" label="v_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-3.0478833472495825" y="-1.6870194230459479" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="K"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="J" a1="L"/>
<output a0="r_1"/>
</command>
<element type="segment" label="r_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0.9170194230459477" y="-1.2903111581204982" z="1.6128889476506227"/>
<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="L" a1="m_1"/>
<output a0="s_1"/>
</command>
<element type="line" label="s_1">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-1" y="0" z="-1.2903111581204982"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="m_1" a1="s_1"/>
<output a0="M"/>
</command>
<element type="point" label="M">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="4" y="38"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-1.2903111581204982" y="-1.25" z="1"/>
<pointSize val="1"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="L" a1="M"/>
<output a0="t_1"/>
</command>
<element type="segment" label="t_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="1.5829805769540521" y="0" z="2.0425375015318377"/>
<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="b_1">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<condition showObject="n_1 ≟ 4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="45" y="404"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="焦點性質"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="m_1" a1="yAxis"/>
<output a0="N"/>
</command>
<element type="point" label="N">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0" y="-1.25" z="1"/>
<pointSize val="1"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="L" a1="M" a2="N"/>
<output a0="α"/>
</command>
<element type="angle" label="α">
<angleStyle val="0"/>
<value val="4.71238898038469"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="α ≟ 90°"/>
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="g_2">
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<expression label="text7" exp=""\overline{QF}=" + (LaTeX[r_1]) + " \\\overline{QM}=" + (LaTeX[t_1]) + """ />
<element type="text" label="text7">
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<command name="Angle">
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<element type="angle" label="δ">
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<expression label="text8" exp=""圓""/>
<element type="text" label="text8">
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<command name="Dilate">
<input a0="D" a1="0.5" a2="Q"/>
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<element type="point" label="D'">
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<expression label="text5" exp=""\overline{QF_1}-\overline{QF_2} \\=" + (LaTeX[g_1]) + "-" + (LaTeX[h_1]) + "=" + (LaTeX[g_1 - h_1]) + """ />
<element type="text" label="text5">
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<expression label="text1" exp=""\overline{QF_1}+\overline{QF_2} \\=" + (LaTeX[i]) + "+" + (LaTeX[j]) + "=" + (LaTeX[i + j]) + """ />
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false" ev="11"/>
<condition showObject="l"/>
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</element>
<command name="Vector">
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<element type="vector" label="w">
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</construction>
</geogebra>