2x2 Determinant and Parallelogram Area
2018-04-09 07:25
This example demonstrates how to calculate the area of a parallelogram using a 2x2 determinant. By constructing a parallelogram through vector translation, it illustrates the geometric interpretation of determinants: the area of a parallelogram spanned by two vectors equals the absolute value of the 2x2 determinant formed by their components. The construction includes orthogonal lines, intersectio
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<command name="Polygon">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="f_2">
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<element type="segment" label="c_3">
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<element type="segment" label="b_1">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="t2">
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<element type="segment" label="k_1">
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<element type="segment" label="a_2">
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<element type="segment" label="b'_1">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="O" a1="A_0" a2="B'" a3="B_0"/>
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<element type="polygon" label="tar">
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<element type="segment" label="c_4">
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<element type="segment" label="a_3">
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<element type="segment" label="b'_2">
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</element>
<element type="segment" label="b_2">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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</element>
<element type="boolean" label="m">
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<show object="true" label="true" ev="3"/>
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<checkbox fixed="true"/>
<caption val="矩形ad"/>
</element>
<element type="boolean" label="k">
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<show object="true" label="true" ev="3"/>
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<labelOffset x="43" y="263"/>
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<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="SetValue[s_s,0] SetValue[o_1,true]"/>
<caption val="矩形bc"/>
</element>
<element type="boolean" label="o">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<condition showObject="d_2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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<labelOffset x="43" y="402"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="SetValue[s_c,0] SetValue[p,true] SetValue[d_1,false]"/>
<caption val="切割塊1"/>
</element>
<element type="boolean" label="p">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="70" y="440"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="切割塊1 平移前"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="O" a1="E"/>
<output a0="q"/>
</command>
<element type="vector" label="q">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="5.392240257367336" y="0" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="O"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="E" a1="A_0"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="vector" label="r">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
<coords x="0" y="1.8814097931669638" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="E"/>
</element>
<element type="numeric" label="s_c">
<value val="0"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="64" y="5"/>
<labelMode val="1"/>
<slider min="0" max="10" absoluteScreenLocation="true" width="200" x="90" y="528" fixed="false" horizontal="true" showAlgebra="true"/>
<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="1"/>
<animation step="0.1" speed="11" type="3" playing="false"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="16 ≤ n ≤ 17" a1="A_0 + (((1 - s_c / 10) * x(B_0)), ((1 - s_c / 10) * y(B_0)))" a2="A_0 + ((s_c / 10 * x(B_0)), (s_c / 10 * y(B_0)))"/>
<output a0="C"/>
</command>
<element type="point" label="C">
<show object="false" label="true" ev="8"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="5.392240257367336" y="1.8814097931669638" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Translate">
<input a0="C" a1="Vector[(-r) - q]"/>
<output a0="C_2"/>
</command>
<element type="point" label="C_2">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0" y="0" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="C" a1="C_2"/>
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<element type="boolean" label="m_1">
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<element type="boolean" label="n_1">
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<command name="Polygon">
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<element type="boolean" label="o_1">
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<caption val="全手動(不建議)"/>
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<caption val="解說開始 請按箭頭"/>
</element>
<element type="button" label="button1">
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<element type="button" label="button2">
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<caption val="<"/>
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<element type="button" label="button3">
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<caption val="|<"/>
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<expression label="text1" exp=""說明：\left|{\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c & d\end{array} \right)}\right|=\left|ad-bc\right|為兩向量所形成的平行四邊形面積""/>
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<expression label="text4" exp=""先找出\,ad\,所代表的意思：""/>
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<expression label="text5" exp=""如圖，\,\,ad\,可以看做青色部分的矩形面積，\\ 但是顯然沒有全部覆蓋到，\,\,所以接著必須再做切割與平移等等處理。""/>
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<expression label="text6" exp=""先把青色矩形超出平行四邊形的部分切開，\,\,先切除下方，\\ 也就是粉紅色部分。""/>
<element type="text" label="text6">
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<element type="segment" label="b_0">
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<expression label="text7" exp=""將其順著向量(c,d)，\,\,平移到平行四邊形尚未被覆蓋的部分。""/>
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<expression label="text8" exp=""平移後，\,\,平行四邊形又被多覆蓋了許多部份，\\ 但是粉紅色三角形也超出了部分。\\ 先放置，\,\,等等再處理。""/>
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<expression label="text9" exp=""同樣地，\,\,把剛剛青色的部分，\,\,多出來的地方，\,\,也就是藍色部分。""/>
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<expression label="text10" exp=""將其順著向量(a,b)，\,\,平移到平行四邊形尚未被覆蓋的部分。""/>
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<expression label="text11" exp=""平移後，\,\,平行四邊形整個都被覆蓋了。\\ 但是藍色三角形不但超出了部分，\,\,還與之前的部分重疊了。""/>
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<expression label="text12" exp=""不過，\,\,超出的部分加上重疊的部分，\,\,剛好是一個小矩形。""/>
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<expression label="text13" exp=""而這個小矩形的邊長，\,\,即是.....""/>
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<expression label="text16" exp=""所以這個小矩形的面積是bc。""/>
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<expression label="text17" exp=""扣除小矩形的面積\,bc\,之後，\,\,即可得到所要的平行四邊形面積。""/>
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<expression label="text18" exp=""這個幾何方法可以簡略說明，\,\,二階行列式的絕對值是兩向量\\ 所張成的平行四邊形面積。\\ 不過當a,b,c,d\,不是正數時，\,\,可能會出現\,ad\,或\,bc\,不是正數的情形，\\ 面積轉換上會有一點不直覺。\\ \,\\ 若a,b,c,d\,出現負數，\,\,此圖無法以正確步驟完全呈現，\\ 但是幾何拼貼的部分一樣可以參考。""/>
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<expression label="text19" exp=""展演結束""/>
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<expression label="text20" exp=""都結束了還按!?""/>
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