Circumference and Diameter: Polygon Approximation of Pi
2014-02-21 07:40
This GeoGebra example demonstrates the relationship between a circle's circumference and its diameter, illustrating the geometric derivation of pi (π). Using circles, inscribed or circumscribed polygons, vectors, and trigonometric functions (including tangent), combined with the Sequence command for progressive subdivision, the construction approximates the circumference through polygon perimeters
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="4.2" version="4.2.47.0" id="7a0836e4-3254-4c67-9be5-a0041e645c99" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="888" height="665" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.5765765765765766" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="3" size="880" window="0,0,400,400" />
<view id="4" toolbar="0 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="355" window="0,0,400,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="3" size="264" window="20,161,388,673" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 | 1011 || 1008 1009 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="16" visible="false" inframe="true" stylebar="false" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" visible="false" inframe="true" stylebar="false" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="4097" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="413,-5,812,634" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
</views>
<toolbar show="true" items="0 || 41 | 42 | 40" position="1" help="true" />
<input show="false" cmd="true" top="false" />
<dockBar show="false" east="false" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="3"/>
<font size="18"/>
<graphicsSettings javaLatexFonts="false"/>
</gui>
<euclidianView>
<size width="880" height="520"/>
<coordSystem xZero="120.45311593085495" yZero="369.24536691059353" scale="72.7263294667795" yscale="72.72632946677959"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="0" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="64" g="64" b="64"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="10"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<grid distX="0.1" distY="0.025" distTheta="0.5235987755982988"/>
</euclidianView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="5"/>
<angleUnit val="radiant"/>
<algebraStyle val="0"/>
<coordStyle val="0"/>
<angleFromInvTrig val="false"/>
</kernel>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="" author="教育局 評估及考評局組" date="22 November 2013">
<element type="numeric" label="r">
<value val="1.5"/>
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-5" y="3"/>
<labelMode val="1"/>
<slider min="0.1" max="1.5" absoluteScreenLocation="true" width="100.0" x="56.0" y="72.0" fixed="true" horizontal="true"/>
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<animation step="0.05" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="yAxis"/>
<output a0="B"/>
</command>
<element type="point" label="B">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="0.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="D0" exp="(0, y(B) - 0.5)" type="point" />
<element type="point" label="D0">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="-0.5" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="CurveCartesian">
<input a0="r * (t - sin(t))" a1="r * (1 - cos(t)) + y(B)" a2="t" a3="0" a4="6.28319"/>
<output a0="f"/>
</command>
<element type="curvecartesian" label="f">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="f"/>
<output a0="P"/>
</command>
<element type="point" label="P">
<curveParam t="8.550782814032012E-7"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="1.5627757876841841E-19" y="5.483946630135961E-13" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="x(P) < r * 3.141592653589793" a1="acos(1 - (y(P) - y(B)) / r)" a2="2 * 3.141592653589793 - acos(1 - (y(P) - y(B)) / r)"/>
<output a0="θ"/>
</command>
<element type="numeric" label="θ">
<value val="8.550981721522814E-7"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="C_1" exp="(r * θ, r + y(B))" type="point" />
<element type="point" label="C_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="y(A) ≥ r"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-5" y="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.282647258228422E-6" y="1.5" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="Segment[(x(D0), y(D0) + 0.25), (r * θ - r, r + y(B))]"/>
<output a0="A"/>
</command>
<element type="point" label="A">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="-1.4999987173527418" y="1.5" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="(x(C_1), y(B))"/>
<output a0="c1"/>
</command>
<element type="segment" label="c1">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="1.282647258228422E-6" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="CircleArc">
<input a0="C_1" a1="(x(C_1), y(B))" a2="P"/>
<output a0="c2"/>
</command>
<element type="conicpart" label="c2">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="1.645350522494482E-12" A3="0.0" A4="-1.282647258228422E-6" A5="-1.5"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="D" exp="(x(C_1), y(B))" type="point" />
<element type="point" label="D">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.282647258228422E-6" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="CircleArc">
<input a0="C_1" a1="P" a2="(x(C_1), y(B))"/>
<output a0="e"/>
</command>
<element type="conicpart" label="e">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="1.645794611704332E-12" A3="0.0" A4="-1.282647258228422E-6" A5="-1.5"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="(x(A) + 2 * r, y(A))"/>
<output a0="j"/>
</command>
<element type="segment" label="j">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="3.0" z="-4.5"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(2 * i * r, 0), (2 * i * r, -1 * 0.25)]" a1="i" a2="0" a3="10"/>
<output a0="list1"/>
</command>
<element type="list" label="list1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="C">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="0.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="E" exp="(2 * r, -1 * 0.25)" type="point" />
<element type="point" label="E">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="3.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="F" exp="(4 * r, -1 * 0.25)" type="point" />
<element type="point" label="F">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="6.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="G" exp="(6 * r, -1 * 0.25)" type="point" />
<element type="point" label="G">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="9.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="H" exp="(8 * r, -1 * 0.25)" type="point" />
<element type="point" label="H">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="12.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="I" exp="(10 * r, -1 * 0.25)" type="point" />
<element type="point" label="I">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="15.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="J" exp="(12 * r, -1 * 0.25)" type="point" />
<element type="point" label="J">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="18.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="K" exp="(14 * r, -1 * 0.25)" type="point" />
<element type="point" label="K">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="21.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="L" exp="(16 * r, -1 * 0.25)" type="point" />
<element type="point" label="L">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="24.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="M" exp="(18 * r, -1 * 0.25)" type="point" />
<element type="point" label="M">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="27.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="N" exp="(20 * r, -1 * 0.25)" type="point" />
<element type="point" label="N">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="30.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""0""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="C"/>
<labelOffset x="-6" y="23"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""1""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="E"/>
<labelOffset x="-5" y="22"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""2""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="F"/>
<labelOffset x="-12" y="22"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""3""/>
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="G"/>
<labelOffset x="-10" y="22"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""4""/>
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="H"/>
<labelOffset x="-11" y="22"/>
</element>
<expression label="text6" exp=""5""/>
<element type="text" label="text6">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="I"/>
<labelOffset x="-10" y="23"/>
</element>
<expression label="text7" exp=""6""/>
<element type="text" label="text7">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="J"/>
<labelOffset x="-11" y="22"/>
</element>
<expression label="text8" exp=""7""/>
<element type="text" label="text8">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="K"/>
<labelOffset x="-11" y="22"/>
</element>
<expression label="text9" exp=""8""/>
<element type="text" label="text9">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="L"/>
<labelOffset x="-11" y="22"/>
</element>
<expression label="text10" exp=""9""/>
<element type="text" label="text10">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="M"/>
<labelOffset x="-11" y="22"/>
</element>
<expression label="text11" exp=""10""/>
<element type="text" label="text11">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="N"/>
<labelOffset x="-15" y="22"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[((2 * i - 1) * r, 0), ((2 * i - 1) * r, -1 * 0.2)]" a1="i" a2="1" a3="10"/>
<output a0="list2"/>
</command>
<element type="list" label="list2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Sequence[Segment[(i * r + 0.2 * j * r, 0), (i * r + 0.2 * j * r, -1 * 0.15)], j, 1, 4]" a1="i" a2="0" a3="19"/>
<output a0="list3"/>
</command>
<element type="list" label="list3">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="(x(B) + 20 * r, y(B))"/>
<output a0="c"/>
</command>
<element type="segment" label="c">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="30.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="細分刻度">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="98" y="458"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(i, 0), (i, -1 * 0.25)]" a1="i" a2="0" a3="10"/>
<output a0="list6"/>
</command>
<element type="list" label="list6">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[((2 * i - 1) / 2, 0), ((2 * i - 1) / 2, -1 * 0.2)]" a1="i" a2="1" a3="10"/>
<output a0="list7"/>
</command>
<element type="list" label="list7">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Sequence[Segment[(i / 2 + 0.1 * j, 0), (i / 2 + 0.1 * j, -1 * 0.15)], j, 1, 4]" a1="i" a2="0" a3="19"/>
<output a0="list8"/>
</command>
<element type="list" label="list8">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="O">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="0.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="Q">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="1.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="R">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="2.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="S">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="3.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="T">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="4.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="U">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="5.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="V">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="6.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="W">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="7.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="Z">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="8.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="A_1">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="9.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="B_1">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="10.0" y="-0.25" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="text12" exp=""0 cm""/>
<element type="text" label="text12">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="O"/>
<labelOffset x="-13" y="19"/>
</element>
<expression label="text13" exp=""1""/>
<element type="text" label="text13">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="Q"/>
<labelOffset x="-6" y="19"/>
</element>
<expression label="text14" exp=""2""/>
<element type="text" label="text14">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="R"/>
<labelOffset x="-4" y="20"/>
</element>
<expression label="text15" exp=""3""/>
<element type="text" label="text15">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="S"/>
<labelOffset x="-6" y="20"/>
</element>
<expression label="text16" exp=""4""/>
<element type="text" label="text16">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="T"/>
<labelOffset x="-5" y="20"/>
</element>
<expression label="text17" exp=""5""/>
<element type="text" label="text17">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="U"/>
<labelOffset x="-5" y="20"/>
</element>
<expression label="text18" exp=""6""/>
<element type="text" label="text18">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="V"/>
<labelOffset x="-4" y="20"/>
</element>
<expression label="text19" exp=""7""/>
<element type="text" label="text19">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="W"/>
<labelOffset x="-4" y="20"/>
</element>
<expression label="text20" exp=""8""/>
<element type="text" label="text20">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="Z"/>
<labelOffset x="-3" y="20"/>
</element>
<expression label="text21" exp=""9""/>
<element type="text" label="text21">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="A_1"/>
<labelOffset x="-5" y="20"/>
</element>
<expression label="text22" exp=""10""/>
<element type="text" label="text22">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.2222222222222223" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="B_1"/>
<labelOffset x="-10" y="20"/>
</element>
<element type="boolean" label="以直徑為量度單位">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="239" y="57"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[((2 * i - 1) / 20, 0), ((2 * i - 1) / 20, -1 * 0.1)]" a1="i" a2="1" a3="100"/>
<output a0="list10"/>
</command>
<element type="list" label="list10">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="細分刻度 ∧ 以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[((2 * i - 1) * r / 10, 0), ((2 * i - 1) * r / 10, -1 * 0.1)]" a1="i" a2="1" a3="100"/>
<output a0="list4"/>
</command>
<element type="list" label="list4">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ∧ 細分刻度"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="text23" exp=""圓的直徑""/>
<element type="text" label="text23">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.0" size="0" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="71" y="33"/>
</element>
<expression label="D_1" exp="(x(A) + r, y(A))" type="point" />
<element type="point" label="D_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.282647258182834E-6" y="1.5" z="1.0"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<expression label="text24" exp=""d""/>
<element type="text" label="text24">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="1.1111111111111112" size="2" style="0"/>
<startPoint exp="D_1"/>
<labelOffset x="-5" y="21"/>
</element>
<element type="boolean" label="再細分">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="細分刻度 ∧ 以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="51" g="51" b="51" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="275" y="458"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(0, 0)" a1="(10, 0)"/>
<output a0="a"/>
</command>
<element type="segment" label="a">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="0.0" y="10.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[((2 * i - 1) / 200, 0), ((2 * i - 1) / 200, -1 * 0.03)]" a1="i" a2="1" a3="1000"/>
<output a0="list11"/>
</command>
<element type="list" label="list11">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ≟ false ∧ 細分刻度 ∧ 再細分"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="1" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Sequence[Segment[(i / 20 + 0.01 * j, 0), (i / 20 + 0.01 * j, -1 * 0.06)], j, 1, 4]" a1="i" a2="0" a3="199"/>
<output a0="list9"/>
</command>
<element type="list" label="list9">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="細分刻度 ∧ 以直徑為量度單位 ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="1" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Sequence[Segment[(i * r / 10 + 0.02 * j * r, 0), (i * r / 10 + 0.02 * j * r, -1 * 0.06)], j, 1, 4]" a1="i" a2="0" a3="199"/>
<output a0="list5"/>
</command>
<element type="list" label="list5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位 ∧ 細分刻度"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="1" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="(0, r)" a1="r"/>
<output a0="d"/>
</command>
<element type="conic" label="d">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="P ≟ (0, 0)"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="0.0" A3="0.0" A4="-0.0" A5="-1.5"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<expression label="B1" exp=""\scalebox{0.8}\begin{array}{} circumference \\ (cm) \end{array}""/>
<element type="text" label="B1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
</element>
<expression label="C1" exp=""\scalebox{0.8} \frac{circumference}{diameter}""/>
<element type="text" label="C1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
</element>
<element type="numeric" label="A2">
<value val="1.0"/>
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="A1" exp=""\scalebox{0.8}\begin{array}{} diameter \\ (cm) \end{array}""/>
<element type="text" label="A1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint x="1.5221111342709879" y="1.2903175605241386" z="1.0"/>
</element>
<element type="numeric" label="A3">
<value val="2.0"/>
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<element type="numeric" label="A4">
<value val="3.0"/>
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<element type="button" label="button1">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="19" y="54"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="SetValue[r, r-0.05]"/>
<caption val="－"/>
</element>
<element type="button" label="button2">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="165" y="54"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="SetValue[r, r+0.05]"/>
<caption val="＋"/>
</element>
<expression label="Min_x" exp="x(Corner[1])" />
<element type="numeric" label="Min_x">
<value val="-1.6700020036943188"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="Min_y" exp="y(Corner[1])" />
<element type="numeric" label="Min_y">
<value val="-2.086653268521216"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="Max_x" exp="x(Corner[3])" />
<element type="numeric" label="Max_x">
<value val="10.45765528998069"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="Max_y" exp="y(Corner[3])" />
<element type="numeric" label="Max_y">
<value val="5.0909398236537795"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<element type="button" label="button3">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="657" y="21"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="ZoomIn[ -1.1245, -1.32168, 7.14007, 3.45716] SetAxesRatio[ 1,1 ]"/>
<caption val="回復原來檢視比例"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(0, -0.55)" a1="(0, -0.8)"/>
<output a0="b"/>
</command>
<element type="segment" label="b">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="0.25" y="0.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(2 * r, -0.55)" a1="(2 * r, -0.8)"/>
<output a0="g"/>
</command>
<element type="segment" label="g">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="0.25" y="0.0" z="-0.7500000000000002"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="text25" exp=""直徑""/>
<element type="text" label="text25">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<startPoint exp="(r, -0.675)"/>
<labelOffset x="-18" y="5"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="(1.3 * r, -0.675)" a1="(2 * r, -0.675)"/>
<output a0="u"/>
</command>
<element type="vector" label="u">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="1.0499999999999998" y="0.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint x="1.9500000000000002" y="-0.675" z="1.0"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="(0.7 * r, -0.675)" a1="(0, -0.675)"/>
<output a0="v"/>
</command>
<element type="vector" label="v">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="以直徑為量度單位"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="-1.0499999999999998" y="0.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint x="1.0499999999999998" y="-0.675" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text26" exp=""圓的直徑是多少？將圓周拉直，量度圓周至小數點後兩個位。""/>
<element type="text" label="text26">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="8" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="48" y="42"/>
</element>
</construction>
</geogebra>