Derivation of the Area of a Circle
2019-05-11 02:31
This GeoGebra applet demonstrates the derivation of the area formula for a circle. By utilizing geometric partitioning, the concept of limits, and definite integrals, the circle is divided into multiple sectors or infinitesimal regions, which are then rearranged or integrated to visually illustrate the origin of the area formula. The applet employs commands such as Sequence, Point, OrthogonalLine,
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<input a0="Midpoint[Cell[2, i], Cell[2, 1 + i]]" a1="i" a2="1" a3="n"/>
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<command name="Sequence">
<input a0="Intersect[Circle[Cell[2, i], 1], OrthogonalLine[Element[midpoints, i], Line[Cell[2, i], Cell[2, 1 + i]]]]" a1="i" a2="1" a3="n"/>
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<element type="list" label="lowpoints">
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<command name="Sequence">
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<element type="list" label="lowpoints2">
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<command name="Sequence">
<input a0="Midpoint[Cell[3, i], Cell[3, 1 + i]]" a1="i" a2="1" a3="n"/>
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<element type="list" label="midpointsDown">
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<command name="Sequence">
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<command name="Sequence">
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<expression label="b" exp="y = 0" type="line"/>
<element type="line" label="b">
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<expression label="c" exp="y = -1" type="line"/>
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<expression label="e" exp="x = -1.5708" type="line"/>
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<expression label="f" exp="x = 1.5708" type="line"/>
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<command name="Point">
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<command name="OrthogonalLine">
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<command name="Point">
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<command name="Mirror">
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<expression label="h" exp="x = -2" type="line"/>
<element type="line" label="h">
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<command name="Point">
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<command name="Mirror">
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<command name="Intersect">
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<command name="Intersect">
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<command name="Intersect">
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<command name="Intersect">
<input a0="g" a1="f"/>
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<element type="point" label="H">
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<expression label="I" exp="(-2, 0)" type="point"/>
<element type="point" label="I">
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<command name="Sequence">
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</command>
<element type="list" label="sectorsDown1">
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</element>
<command name="Sequence">
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<output a0="sectorsDown3"/>
</command>
<element type="list" label="sectorsDown3">
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<command name="Sequence">
<input a0="CircleSector[Element[lowpoints, i], Cell[2, 1 + i], Cell[2, i]]" a1="i" a2="1" a3="n" a4="2"/>
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</command>
<element type="list" label="sectors1">
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<command name="Sequence">
<input a0="CircleSector[Element[lowpoints2, i] + ((2 * x(A)), 0), Mirror[Cell[2, i], yAxis] + ((2 * x(A)), 0), Mirror[Cell[2, 1 + i], yAxis] + ((2 * x(A)), 0)]" a1="i" a2="1" a3="n" a4="2"/>
<output a0="sectors3"/>
</command>
<element type="list" label="sectors3">
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</command>
<element type="list" label="sectors2">
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<command name="Sequence">
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<output a0="sectors4"/>
</command>
<element type="list" label="sectors4">
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<command name="Sequence">
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<output a0="sectorsDown2"/>
</command>
<element type="list" label="sectorsDown2">
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<command name="Sequence">
<input a0="CircleSector[Element[uppoints2, i], Mirror[Cell[3, i], yAxis], Mirror[Cell[3, 1 + i], yAxis]]" a1="i" a2="2" a3="n" a4="2"/>
<output a0="sectorsDown4"/>
</command>
<element type="list" label="sectorsDown4">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
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<command name="If">
<input a0="b_1 ≥ 1" a1="2 - b_1" a2="1"/>
<output a0="t2_1"/>
</command>
<element type="numeric" label="t2_1">
<value val="1.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
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<element type="boolean" label="m">
<value val="true"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="SetValue(b_1,0)
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<element type="button" label="button1_4">
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m=!m"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="72" style="0"/>
<caption val="演示"/>
</element>
<expression label="i" exp="(n * 4)" />
<element type="numeric" label="i">
<value val="48.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
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<expression label="text1" exp=""$\LARGE{分割块数" + (LaTeX[i]) + "}$"" />
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint x="-1.1175354704814309" y="1.6391267485580177" z="1.0"/>
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</construction>
</geogebra>