Geometric Construction and Optimization of Hyperbola
2016-05-21 10:41
This applet demonstrates the geometric properties of hyperbolas in conic sections. By constructing circles, segments, and intersection points, it uses distance commands with max and min functions to explore the optimization of geometric elements. It helps understand the geometric characteristics and optimization problems of hyperbolas.
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<construction title="雙曲線20160521" author="" date="">
<element type="numeric" label="k">
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<labelMode val="2"/>
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<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="1"/>
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<expression label="A" exp="(((-k)) / 2, 0)" type="point" />
<element type="point" label="A">
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<expression label="B" exp="(k / 2, 0)" type="point" />
<element type="point" label="B">
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<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<element type="numeric" label="aa">
<value val="8.0"/>
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<labelMode val="2"/>
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<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="1"/>
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<input a0="A" a1="B"/>
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<element type="numeric" label="distanceAB">
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<expression label="文字AB" exp="Name[A] + (Name[B]) + " = " + distanceAB" />
<element type="text" label="文字AB">
<show object="false" label="true" ev="20"/>
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<command name="Distance">
<input a0="A" a1="B"/>
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<element type="numeric" label="cc">
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<element type="numeric" label="ra">
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<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
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<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="1"/>
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<command name="Circle">
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<element type="conic" label="c">
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<eqnStyle style="specific"/>
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<expression label="rb" exp="ra + aa" />
<element type="numeric" label="rb">
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</element>
<command name="Circle">
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<output a0="d"/>
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<element type="conic" label="d">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<trace val="true"/>
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<input a0="c" a1="d"/>
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<layer val="0"/>
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<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
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<element type="point" label="DA">
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<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<trace val="true"/>
<coords x="-16.0" y="-11.618950038622252" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
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<element type="numeric" label="dd">
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<show object="true" label="true"/>
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<labelMode val="2"/>
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<element type="text" label="text2">
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<element type="point" label="DB">
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<expression label="PCA" exp="(x(CA), y(CA))" type="point" />
<element type="point" label="PCA">
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<expression label="PCB" exp="(x(CB), y(CB))" type="point" />
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<show object="false" label="false" ev="4"/>
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<element type="boolean" label="i">
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<expression label="PDB" exp="(x(DB), y(DB))" type="point" />
<element type="point" label="PDB">
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<pointSize val="9"/>
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<command name="Segment">
<input a0="DB" a1="B"/>
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<command name="Segment">
<input a0="DB" a1="A"/>
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<element type="segment" label="pa2">
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<input a0="ra" a1="rb"/>
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<element type="numeric" label="rmax">
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<input a0="ra" a1="rb"/>
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<element type="numeric" label="rmin">
<value val="16.0"/>
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<expression label="text4" exp=""" + (LaTeX[rmax]) + """ />
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<expression label="text5" exp=""" + (LaTeX[rmin]) + """ />
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="true" ev="8"/>
<condition showObject="b"/>
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<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="(B + CB) / 2"/>
<labelOffset x="-2" y="-5"/>
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<expression label="text6" exp=""" + (LaTeX[rmin]) + """ />
<element type="text" label="text6">
<show object="true" label="true" ev="8"/>
<condition showObject="b"/>
<objColor r="102" g="153" b="0" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
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<startPoint exp="(B + DB) / 2"/>
<labelOffset x="-2" y="-33"/>
</element>
<expression label="text7" exp=""" + (LaTeX[rmax]) + """ />
<element type="text" label="text7">
<show object="true" label="true" ev="8"/>
<condition showObject="b"/>
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<input a0="CA" a1="B"/>
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<element type="segment" label="qb1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
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<command name="Segment">
<input a0="DA" a1="B"/>
<output a0="qb2"/>
</command>
<element type="segment" label="qb2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="a"/>
<objColor r="102" g="153" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-11.618950038622252" y="21.0" z="58.09475019311126"/>
<lineStyle thickness="9" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="CA" a1="A"/>
<output a0="qa1"/>
</command>
<element type="segment" label="qa1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="a"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="11.618950038622252" y="11.0" z="58.09475019311126"/>
<lineStyle thickness="9" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="DA" a1="A"/>
<output a0="qa2"/>
</command>
<element type="segment" label="qa2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="a"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-11.618950038622252" y="11.0" z="-58.09475019311126"/>
<lineStyle thickness="9" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="text8" exp=""" + (LaTeX[rmin]) + """ />
<element type="text" label="text8">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<condition showObject="a"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="(CA + A) / 2"/>
<labelOffset x="-25" y="-4"/>
</element>
<expression label="text9" exp=""" + (LaTeX[rmin]) + """ />
<element type="text" label="text9">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<condition showObject="a"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="(DA + A) / 2"/>
<labelOffset x="-24" y="-31"/>
</element>
<expression label="text10" exp=""" + (LaTeX[rmax]) + """ />
<element type="text" label="text10">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<condition showObject="a"/>
<objColor r="102" g="153" b="0" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="(CA + B) / 2"/>
<labelOffset x="-7" y="-22"/>
</element>
<expression label="text11" exp=""" + (LaTeX[rmax]) + """ />
<element type="text" label="text11">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<condition showObject="a"/>
<objColor r="102" g="153" b="0" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="(DA + B) / 2"/>
<labelOffset x="-7" y="-18"/>
</element>
<element type="boolean" label="a">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="41" y="228"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="Ａ側P點軌跡顯示"/>
</element>
<element type="boolean" label="b">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="41" y="262"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="Ｂ側P點軌跡顯示"/>
</element>
<expression label="M" exp="(A + B) / 2" type="point" />
<element type="point" label="M">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="g" exp="y = (sqrt(cc^(2) - aa^(2)) / aa * (x - x(M))) + y(M)" type="line" />
<element type="line" label="g">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="128" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.75" y="1.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="7" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
</element>
<expression label="h" exp="y = (((-sqrt(cc^(2) - aa^(2)))) / aa * (x - x(M))) + y(M)" type="line" />
<element type="line" label="h">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="128" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.75" y="1.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="7" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
</element>
<expression label="ka" exp="(k * a)" />
<element type="numeric" label="ka">
<value val="0.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="Ak" exp="((2 * x(A)) - 10, 0)" type="point" />
<element type="point" label="Ak">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-20.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="Bk" exp="((2 * x(B)) + 10, 0)" type="point" />
<element type="point" label="Bk">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="20.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="Ak" a1="Bk"/>
<output a0="j"/>
</command>
<element type="segment" label="j">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="40.0" z="-0.0"/>
<lineStyle thickness="8" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="text12" exp=""貫軸""/>
<element type="text" label="text12">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<objColor r="255" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="Bk + (5, 0)"/>
<labelOffset x="-78" y="-19"/>
</element>
<expression label="Ck" exp="(0, (-2 * x(A)))" type="point" />
<element type="point" label="Ck">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="10.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="Dk" exp="(0, (2 * x(A)))" type="point" />
<element type="point" label="Dk">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="-10.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="Ck" a1="Dk"/>
<output a0="l"/>
</command>
<element type="segment" label="l">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="20.0" y="0.0" z="-0.0"/>
<lineStyle thickness="8" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="text13" exp=""共軛軸""/>
<element type="text" label="text13">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<objColor r="255" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="Dk + (0, -5)"/>
<labelOffset x="-47" y="-64"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""貫軸長2a=\left|\overline{PA}-\overline{PB} \right| = " + (LaTeX[rmax]) + "-" + (LaTeX[rmin]) + " =" + (LaTeX[abs(ra - rb)]) + """ />
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="true" ev="8"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="163" y="53"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""焦距長2c=" + (LaTeX[distanceAB]) + """ />
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="true" ev="8"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="163" y="10"/>
</element>
<expression label="text14" exp=""雙曲線動點軌跡""/>
<element type="text" label="text14">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="303" y="108"/>
</element>
</construction>
</geogebra>