Properties and Geometric Construction of the Triangle Circumcenter
2014-10-03 01:00
This GeoGebra applet dynamically demonstrates the geometric properties and construction process of the circumcenter of a triangle. By drawing the three sides of a triangle and their perpendicular bisectors, it visually illustrates the theorem that the three perpendicular bisectors intersect at a single point, known as the circumcenter. Furthermore, the applet uses the circumscribed circle to verif
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="4.2" version="4.2.60.0" id="78272d04-1cb8-4ec1-a57a-7470837c9dcf" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="1366" height="728" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.4992679355783309" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="4097" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1,1,1" size="400" window="433,105,700,610" />
<view id="4" toolbar="0 59 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,1" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="3,3" size="194" window="100,100,250,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 | 1011 || 1008 1009 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="false" location="3" size="682" window="100,100,600,400" />
<view id="16" visible="true" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="652" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
</views>
<toolbar show="true" items="0 39 59 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 | 30 29 54 32 31 33 | 17 26 62 73 , 14 66 68 | 25 52 60 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6" position="1" help="false" />
<input show="true" cmd="true" top="false" />
<dockBar show="true" east="true" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="3"/>
<font size="20"/>
<graphicsSettings javaLatexFonts="false"/>
</gui>
<euclidianView>
<size width="682" height="533"/>
<coordSystem xZero="657.5084468947357" yZero="224.84475193757027" scale="12.060513586073549" yscale="12.060513586073544"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="10"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<euclidianView>
<viewNumber viewNo="2"/>
<size width="652" height="533"/>
<coordSystem xZero="215.0000000000001" yZero="314.99999999999994" scale="50.00000000000003" yscale="49.99999999999999"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="10"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="0"/>
<coordStyle val="0"/>
<angleFromInvTrig val="false"/>
</kernel>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="" author="" date="">
<element type="point" label="A">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="2" y="-13"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="-14.137743444990958" y="8.527394061918445" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="B">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-40" y="18"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="-20.68804492561965" y="-0.012872425483521847" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="9" y="20"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="-5.597476957588994" y="0.7333644520564558" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="B"/>
<output a0="a"/>
</command>
<element type="segment" label="a">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-32" y="-28"/>
<labelMode val="2"/>
<coords x="8.540266487401967" y="-6.550301480628692" z="176.5970985004318"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="C"/>
<output a0="b"/>
</command>
<element type="segment" label="b">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.7462368775399777" y="15.090567968030655" z="-15.243929836028691"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="C"/>
<output a0="c"/>
</command>
<element type="segment" label="c">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="74" y="-4"/>
<labelMode val="2"/>
<coords x="7.794029609861989" y="8.540266487401965" z="37.36377329501917"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="LineBisector">
<input a0="c"/>
<output a0="d"/>
</command>
<element type="line" label="d">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="j"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-8.540266487401965" y="7.794029609861989" z="-120.36133374667348"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="LineBisector">
<input a0="a"/>
<output a0="e"/>
</command>
<element type="line" label="e">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="j"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="6.550301480628692" y="8.540266487401967" z="77.70156467008403"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="LineBisector">
<input a0="b"/>
<output a0="f"/>
</command>
<element type="line" label="f">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="j"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-15.090567968030655" y="-0.7462368775399777" z="-198.0628984167575"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="d" a1="f"/>
<output a0="O"/>
</command>
<element type="point" label="O">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="l"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="5" y="-13"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1633.5261607469597" y="124.81095388066433" z="123.98939536938394"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="O" a1="A"/>
<output a0="g"/>
</command>
<element type="segment" label="g">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="l"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-7.520768023386417" y="-0.9630186559843832" z="-98.11464925537102"/>
<lineStyle thickness="2" type="15" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="O" a1="B"/>
<output a0="h"/>
</command>
<element type="segment" label="h">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="l"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.0194984640155498" y="-7.513320136613075" z="20.994715371561526"/>
<lineStyle thickness="7" type="15" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="O" a1="C"/>
<output a0="i"/>
</command>
<element type="segment" label="i">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="l"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.2732615864755722" y="7.577247831417581" z="-4.0273087702922945"/>
<lineStyle thickness="7" type="15" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="O" a1="B"/>
<output a0="k"/>
</command>
<element type="conic" label="k">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="l"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="11" type="20" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="117.09731265414945" A3="0.0" A4="13.174724789006575" A5="-1.006626038532028"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<element type="boolean" label="j">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="16" y="12"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="畫三中線"/>
</element>
<element type="boolean" label="l">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="16" y="54"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="外心與三頂點連線"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="B" a1="A" a2="C"/>
<output a0="α"/>
</command>
<element type="angle" label="α">
<value val="1.4853382133135555"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="m"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="-24" y="36"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="40"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="B" a1="O" a2="C"/>
<output a0="β"/>
</command>
<element type="angle" label="β">
<value val="2.970676426627111"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="m"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="-22" y="32"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="40"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="m">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="16" y="139"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="∠BAC與∠BOC關係"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""∠BOC＝ 2∠BAC""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="n"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="8" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="2" y="8"/>
</element>
<element type="boolean" label="n">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="17" y="183"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="角度關係1"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A" a1="O" a2="B"/>
<output a0="γ"/>
</command>
<element type="angle" label="γ">
<value val="1.578309857608951"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="u"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="-75" y="-29"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="40"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A" a1="C" a2="B"/>
<output a0="δ"/>
</command>
<element type="angle" label="δ">
<value val="0.7891549288044755"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="u"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="45" y="-14"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="50"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""∠AOB=2∠ACB""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="p"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="8" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="0" y="63"/>
</element>
<element type="boolean" label="p">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="19" y="278"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="角度關係２"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="O"/>
<output a0="q"/>
</command>
<element type="segment" label="q">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="1"/>
<coords x="7.520768023386417" y="0.9630186559843832" z="98.11464925537102"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""$ \overline{OA} $=$\overline{OB}$=$\overline{OC} \; \; 外心到三頂點距離相等""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="t"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="8" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="8" y="299"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""$ \overline{OA} =" + (LaTeX[g]) + """ />
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="t"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="8" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="10" y="173"/>
</element>
<element type="boolean" label="t">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="16" y="98"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="性質1"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""$ \overline{OB} =" + (LaTeX[h]) + """ />
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="t"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="8" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="10" y="221"/>
</element>
<expression label="text6" exp=""\overline{OC}=" + (LaTeX[i]) + """ />
<element type="text" label="text6">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="t"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="8" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="9" y="263"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="C" a1="O" a2="A"/>
<output a0="ε"/>
</command>
<element type="angle" label="ε">
<value val="1.7341990229435245"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="3" y="-47"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="40"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="C" a1="B" a2="A"/>
<output a0="ζ"/>
</command>
<element type="angle" label="ζ">
<value val="0.8670995114717623"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="-51" y="47"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="40"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<expression label="text7" exp=""∠AOC=2∠ABC""/>
<element type="text" label="text7">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="s"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="8" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="1" y="115"/>
</element>
<element type="boolean" label="s">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="19" y="364"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="角度關係3"/>
</element>
<element type="boolean" label="u">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="18" y="230"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="∠AOB與∠ACB關係"/>
</element>
<element type="boolean" label="o">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="19" y="320"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="∠AOC與∠ABC關係"/>
</element>
<command name="Distance">
<input a0="a" a1="c"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="numeric" label="r">
<value val="0.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
</construction>
</geogebra>