双镜面反射问题
2020-04-05 12:50
本范例演示了双镜面反射的几何光学问题。通过构造射线、多边形和镜像变换，展示了光线在两个平面镜之间的多次反射路径。利用迭代列表和几何作图命令，动态呈现了入射角与反射角的关系，以及反射光线的轨迹。适用于几何光学和变换几何的教学与探索。
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="5.0" version="5.0.574.0" app="classic" platform="d" id="1ca69e0a-669b-410e-884e-2949c89f7d18" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/apps/xsd/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="1179" height="856" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.9016115351993215" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="512" toolbar="0 | 1 501 5 19 , 67 | 2 15 45 18 , 7 37 | 514 3 9 , 13 44 , 47 | 16 51 | 551 550 11 , 20 22 21 23 , 55 56 57 , 12 | 69 | 510 511 , 512 513 | 533 531 , 534 532 , 522 523 , 537 536 , 535 | 521 520 | 36 , 38 49 560 | 571 30 29 570 31 33 | 17 | 540 40 41 42 , 27 28 35 , 6 , 502" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1,1" size="500" window="100,100,600,400" />
<view id="4" toolbar="0 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 || 1008 1009 || 66 68 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="3" size="1163" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="0" size="260" window="100,100,600,400" />
<view id="16" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" toolbar="0" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="4097" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="315" window="150,454,1267,757" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
</views>
<toolbar show="true" items="0 39 73 62 | 1 501 67 , 5 19 , 72 75 76 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 14 68 | 30 29 54 32 31 33 | 25 17 26 60 52 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6" position="1" help="false" />
<input show="true" cmd="true" top="algebra" />
<dockBar show="false" east="true" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="0"/>
<font size="24"/>
</gui>
<euclidianView>
<viewNumber viewNo="1"/>
<size width="1163" height="622"/>
<coordSystem xZero="2367.734762232366" yZero="-338.56850061668337" scale="29.133408934296224" yscale="29.13340893429625"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="3"/>
<bgColor r="0" g="0" b="0"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="0"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="0" spreadsheet="0"/>
<coordStyle val="0"/>
</kernel>
<tableview min="-2.0" max="2.0" step="1.0"/>
<scripting blocked="true" disabled="false"/>
<construction title="" author="" date="">
<element type="angle" label="α">
<angleStyle val="3"/>
<value val="0.296705972839036"/>
<slider min="0" max="45°" absoluteScreenLocation="true" width="200.0" x="95.0" y="151.0" fixed="false" horizontal="true" showAlgebra="true"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="1.0" dynamicr="1" dynamicg="1" dynamicb="0" dynamica="1" colorSpace="0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="-18" y="-6"/>
<labelMode val="9"/>
<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="30"/>
<animation speed="1" type="0" playing="false"/>
<caption val="镜面夹角"/>
</element>
<element type="point" label="A">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="-38" y="28"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="-76.97217794959172" y="-30.16203357020711" z="1.0"/>
<pointSize val="9"/>
<pointStyle val="10"/>
</element>
<command name="Ray">
<input a0="A" a1="Vector[(1; α)]"/>
<output a0="g"/>
</command>
<element type="ray" label="g">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="-0.2923717047227367" y="0.9563047559630355" z="6.339609269361819"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Ray">
<input a0="A" a1="Vector[(1, 0)]"/>
<output a0="f"/>
</command>
<element type="ray" label="f">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="-0.0" y="1.0" z="30.16203357020711"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A" a1="Intersect[f, Line[Corner[2], Corner[3]]]" a2="Intersect[g, Line[Corner[2], Corner[3]]]"/>
<output a0="t1" a1="m" a2="a_1" a3="p"/>
</command>
<element type="polygon" label="t1">
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="1.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<element type="segment" label="m">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="5"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="0.0" y="35.654158319718825" z="1075.4019201568383"/>
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="5"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="-10.900570119922602" y="0.0" z="-450.38997019176793"/>
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="p">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="5"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="10.900570119922602" y="-35.654158319718825" z="-236.36129713415357"/>
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="PointIn">
<input a0="t1"/>
<output a0="B"/>
</command>
<element type="point" label="B">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="-67.71383213963804" y="-29.641862459840006" z="1.0"/>
<pointSize val="9"/>
<pointStyle val="10"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="Circle[B, 1]"/>
<output a0="C"/>
</command>
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="3"/>
<labelOffset x="-14" y="32"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<ggbscript onUpdate="SetValue[c,0]
If[e,StartAnimation[c],StartAnimation[c,false]]"/>
<coords x="-68.51800828110437" y="-29.047471398756198" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="10"/>
</element>
<command name="Ray">
<input a0="B" a1="C"/>
<output a0="h"/>
</command>
<element type="ray" label="h">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.5943910610838081" y="-0.8041761414663284" z="-64.0857751143601"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Defined">
<input a0="Intersect[h, f]"/>
<output a0="a"/>
</command>
<element type="boolean" label="a">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="a" a1="f" a2="g"/>
<output a0="i"/>
</command>
<element type="ray" label="i">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.2923717047227367" y="0.9563047559630355" z="6.339609269361819"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="i" a1="h"/>
<output a0="D"/>
</command>
<element type="point" label="D">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-56.18736901080056" y="-22.505074399136117" z="0.803537347994224"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="D" a1="i"/>
<output a0="j"/>
</command>
<element type="line" label="j">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.7684265874808012" y="-0.2349315842414582" z="-60.3120951770661"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Mirror">
<input a0="B" a1="j"/>
<output a0="B'"/>
</command>
<element type="point" label="B'">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-70.84426424125023" y="-30.59893159952596" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Ray">
<input a0="D" a1="B'"/>
<output a0="k"/>
</command>
<element type="ray" label="k">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="2.591428954735534" y="-0.919239410662712" z="155.46013378125417"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A" a1="D" a2="B'"/>
<output a0="β"/>
</command>
<element type="angle" label="β">
<angleStyle val="1"/>
<value val="0.9332141886269777"/>
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-31" y="43"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="30"/>
</element>
<expression label="b" exp="ceil((180° - α - β) / α) + 1" />
<element type="numeric" label="b">
<value val="8.0"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<element type="numeric" label="c">
<value val="7.0"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="-43" y="-1"/>
<labelMode val="9"/>
<slider min="0" max="b" absoluteScreenLocation="true" width="200.0" x="95.0" y="245.0" fixed="false" horizontal="true" showAlgebra="true"/>
<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="1"/>
<animation speed="1" type="3" playing="false"/>
<caption val="反射次数"/>
</element>
<command name="IterationList">
<input a0="If[S ∈ f, Intersect[Ray[S, Mirror[T, OrthogonalLine[S, f]]], g], S ∈ g, Intersect[Ray[S, Mirror[T, OrthogonalLine[S, g]]], f]]" a1="T" a2="S" a3="{B, D}" a4="b"/>
<output a0="l1"/>
</command>
<element type="list" label="l1">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="PolyLine[l1]" a1="c / b"/>
<output a0="E"/>
</command>
<element type="point" label="E">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="NaN" y="NaN" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Mirror">
<input a0="l1(-2)" a1="OrthogonalLine[l1(-1), If[l1(-1) ∈ f, f, g]]"/>
<output a0="F"/>
</command>
<element type="point" label="F">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="NaN" y="NaN" z="NaN"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="PolyLine">
<input a0="First[l1, c + 1]"/>
<output a0="l"/>
</command>
<element type="polyline" label="l">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<show object="true" label="false" ev="8"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="c ≟ b" a1="Vector[E, F]" a2="Vector[l1(floor(c) + 1), E]"/>
<output a0="u"/>
</command>
<element type="vector" label="u">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="NaN" y="NaN" z="NaN"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="E"/>
</element>
<command name="Translate">
<input a0="If[l1(-1) ∈ f, g, f]" a1="Vector[A, l1(-1)]"/>
<output a0="n"/>
</command>
<element type="ray" label="n">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="c ≟ b"/>
<objColor r="128" g="128" b="128" alpha="0.0"/>
<layer val="5"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="NaN" y="NaN" z="NaN"/>
<lineStyle thickness="3" type="15" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="First">
<input a0="l1" a1="c + 1"/>
<output a0="l2"/>
</command>
<element type="list" label="l2">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="4"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""光线不会再与两镜面相交。""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<condition showObject="c ≟ b"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="5"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="F"/>
<labelOffset x="-10" y="-34"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""使用帮助：
白点：控制整体位置。
红点：控制光源位置。
蓝点：控制光源方向。
反射次数：拖动可查看光线动态变化。
当光线超出画面时，拖动红点不断靠近白点即可查看更多光线。""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="d"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0.0" dynamicr="1" dynamicg="1" dynamicb="0" colorSpace="0"/>
<layer val="5"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<absoluteScreenLocation x="411" y="80"/>
</element>
<element type="boolean" label="d">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="96" y="354"/>
<labelMode val="3"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="查看帮助"/>
</element>
<element type="boolean" label="e">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="98" y="292"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="SetValue[c,0]
If[e,StartAnimation[c],StartAnimation[c,false]]"/>
<caption val="自动变化"/>
</element>
<expression label="o" exp="x(F) > x(Corner[2])" />
<element type="boolean" label="o">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""光线已超出画面！请拖动红点，靠近白点。""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="5"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<absoluteScreenLocation x="298" y="333"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""反射次数=" + (LaTeX[floor(c)]) + """ />
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="5"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="111" y="193"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""镜面夹角=" + (LaTeX[α]) + """ />
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="5"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="105" y="97"/>
</element>
</construction>
</geogebra>