旋转矩阵与平面几何变换
2015-05-14 03:45
本范例演示二维旋转矩阵在平面几何中的应用。透过构造多边形与向量，展示旋转矩阵 M 及其逆矩阵 invM 对几何图形（多边形顶点、圆、线段）的变换效果。利用 Rotate、Sequence 等命令动态呈现旋转过程，并结合 Min、Max 探讨旋转过程中的极值问题。适合学习线性代数中矩阵变换与几何意义。
所属专题
GeoGebra 几何变换互动学习资源
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<input a0="Line[G, G + (1, 0)]"/>
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</command>
<element type="point" label="H">
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<command name="Circle">
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<element type="conic" label="g">
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<matrix A0="1" A1="1" A2="7" A3="0" A4="2" A5="-2"/>
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<command name="Radius">
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</element>
<cascell caslabel="h" >
<cellPair>
<inputCell>
<expression value="h: ((invM (x, y)) - G) ((invM (x, y)) - G) = r²" eval="Evaluate[(((invM * (x, y)) - G) * ((invM * (x, y)) - G)) = r^(2)]" evalCmd=""/>
</inputCell>
<outputCell>
<expression value="h: ((297975 / 342551 * x) + (751835 / 1524154 * y) + 2)^(2) + ((((-751835)) / 1524154 * x) + (297975 / 342551 * y) - 2)^(2) = 1" native="true"/>
</outputCell>
</cellPair>
</cascell>
<element type="conic" label="h">
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<objColor r="0" g="153" b="0" alpha="0.5"/>
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<matrix A0="1.9999999999992175" A1="1.9999999999992175" A2="14" A3="0" A4="5.4526027137417845" A5="-1.5063610609954081"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Line">
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<element type="line" label="a">
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<command name="Line">
<input a0="O" a1="O + v"/>
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<element type="point" label="I">
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<command name="Point">
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<element type="point" label="J">
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<expression label="K" exp="I + Vector[I, J] + (-2 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="K">
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<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<expression label="L" exp="I + (0 * Vector[I, J]) + (-2 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="L">
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<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<expression label="N" exp="I + (0 * Vector[I, J]) + (-4 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="N">
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<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<expression label="P" exp="I + (-Vector[I, J]) + (-3 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="P">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<coords x="2" y="-3.0000000000000004" z="1"/>
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<expression label="Q" exp="I + (-Vector[I, J]) + (0 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="Q">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<coords x="-1" y="-3" z="1"/>
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<expression label="R" exp="I + (0 * Vector[I, J]) + OrthogonalVector[Segment[I, J]]" type="point" />
<element type="point" label="R">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<coords x="-2" y="-2" z="1"/>
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<command name="Polygon">
<input a0="I" a1="J" a2="K" a3="L" a4="N" a5="P" a6="Q" a7="R"/>
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</command>
<element type="polygon" label="poly3">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="segment" label="i_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="segment" label="j_1">
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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</element>
<element type="segment" label="k">
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<element type="segment" label="l">
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<element type="segment" label="n">
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<element type="segment" label="p">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<element type="segment" label="q">
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<element type="segment" label="r_1">
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<command name="Polygon">
<input a0="Zip[(M * p), p, {I, J, K, L, N, P, Q, R}]"/>
<output a0="poly4"/>
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<element type="polygon" label="poly4">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="numeric" label="hiddenUnder">
<value val="0.15"/>
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<command name="Segment">
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</element>
<command name="Angle">
<input a0="(4, 0)" a1="O" a2="S"/>
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<element type="angle" label="α">
<angleStyle val="0"/>
<value val="0.5158566524269691"/>
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<objColor r="255" g="51" b="204" alpha="0.10000000149011612"/>
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<command name="Segment">
<input a0="O" a1="(4, 0)"/>
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<element type="segment" label="m">
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<expression label="text1" exp=""" + (LaTeX[α]) + """ />
<element type="text" label="text1">
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<font serif="true" sizeM="2" size="12" style="1"/>
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<labelOffset x="-23" y="-15"/>
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<command name="Angle">
<input a0="(4, 0)" a1="O" a2="S"/>
<output a0="β"/>
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<element type="angle" label="β">
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<value val="0.5158566524269691"/>
<show object="true" label="false" ev="11"/>
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<decoration type="7"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
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<expression label="text2" exp=""-" + (LaTeX[β]) + """ />
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="43"/>
<condition showObject="180° < α ≤ 350°"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="(2; ((-β)) / 2)"/>
<labelOffset x="-32" y="-21"/>
</element>
</construction>
</geogebra>