向量分解：基于基向量的坐标表示与矩阵求逆
2015-10-23 01:13
本 GeoGebra 范例演示如何将平面内一个向量分解为两个基向量 u、v 的线性组合。通过构造基向量矩阵 M 并利用 Invert 命令求逆矩阵 Minv，自动计算分解系数 px、py。界面包含可拖动的点与向量，配合 Sequence 生成的网格线（linesX、linesY）直观展示非正交基下的坐标网格。用户可动态调整基向量与目标向量，实时观察分量线段、交点及坐标数值的变化，深入理解线性代数中基变换、坐标表示与矩阵运算的几何意义。
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="5" y="370"/>
<labelMode val="4"/>
<caption val="Segments"/>
</element>
<expression label="C2" exp="(Minv * C)" type="point" />
<element type="point" label="C2">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.18925832675668677" y="1.8011738261620205" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="Cx" exp="(M * (x(C2), 0))" type="point" />
<element type="point" label="Cx">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.6043649234430198" y="0.1400511617999482" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="Cy" exp="(M * (0, y(C2)))" type="point" />
<element type="point" label="Cy">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.4202738927711369" y="2.9179015983824734" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="C" a1="Cx"/>
<output a0="g"/>
</command>
<element type="segment" label="g">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="showIntersection"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="2.9179015983824734" y="-0.4202738927711368" z="-1.7046175291639043"/>
<lineStyle thickness="4" type="20" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="C" a1="Cy"/>
<output a0="h"/>
</command>
<element type="segment" label="h">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="showIntersection"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<coords x="0.14005116179994825" y="-0.6043649234430197" z="1.704617529163904"/>
<lineStyle thickness="4" type="20" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="txtX" exp=""" + (x(C2)) + """ />
<element type="text" label="txtX">
<show object="false" label="true" ev="20"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<startPoint exp="Cx"/>
<labelOffset x="0" y="18"/>
</element>
<expression label="txtY" exp=""" + (y(C2)) + """ />
<element type="text" label="txtY">
<show object="false" label="true" ev="20"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<startPoint exp="Cy"/>
<labelOffset x="-37" y="7"/>
</element>
<command name="RotateText">
<input a0="txtX" a1="Angle[u]"/>
<output a0="txtX2"/>
</command>
<element type="text" label="txtX2">
<show object="true" label="false" ev="8"/>
<condition showObject="c"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="Cx"/>
<labelOffset x="-20" y="3"/>
</element>
<command name="RotateText">
<input a0="txtY" a1="Angle[u]"/>
<output a0="txtY2"/>
</command>
<element type="text" label="txtY2">
<show object="true" label="false" ev="8"/>
<condition showObject="c"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="Cy"/>
<labelOffset x="-51" y="-8"/>
</element>
<element type="boolean" label="showIntersection">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="4" y="404"/>
<labelMode val="4"/>
<caption val="Intersection"/>
</element>
<element type="boolean" label="c">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="4" y="439"/>
<labelMode val="4"/>
<caption val="Coordinates"/>
</element>
<element type="button" label="normalize">
<show object="true" label="true"/>
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<ggbscript val="A=(1,0) B=(0,1) RunClickScript[maintainRelativeCoords]"/>
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