二阶行列式与平行四边形面积
2018-04-09 07:25
本范例演示如何利用二阶行列式计算平行四边形的面积。通过向量平移构造平行四边形，直观展示行列式的几何意义：由两个向量张成的平行四边形面积等于这两个向量分量所组成的二阶行列式的绝对值。构造中包含正交线、交点、向量、平移及多边形等元素，帮助学习者理解线性代数中行列式与平面几何面积之间的内在联系。
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<element type="segment" label="g_1">
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<element type="segment" label="c_1">
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<command name="OrthogonalLine">
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<command name="Intersect">
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<command name="Intersect">
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<command name="Polygon">
<input a0="A_0" a1="E" a2="O"/>
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<element type="polygon" label="c1">
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<element type="segment" label="c_2">
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<element type="segment" label="a_1">
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<element type="segment" label="e_1">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="c2">
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<element type="segment" label="b">
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<element type="segment" label="b'">
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</element>
<element type="segment" label="l">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="t1">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
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<element type="segment" label="f_2">
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<element type="segment" label="c_3">
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<element type="segment" label="b_1">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A_0" a1="B'" a2="K"/>
<output a0="t2" a1="k_1" a2="a_2" a3="b'_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="t2">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="l_1 ∧ n_1 ∨ 11 ≤ n ≤ 18"/>
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<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="k_1">
<show object="false" label="true"/>
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</element>
<element type="segment" label="a_2">
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b'_1">
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="O" a1="A_0" a2="B'" a3="B_0"/>
<output a0="tar" a1="c_4" a2="a_3" a3="b'_2" a4="b_2"/>
</command>
<element type="polygon" label="tar">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="c_4">
<show object="false" label="true"/>
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</element>
<element type="segment" label="a_3">
<show object="false" label="true"/>
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</element>
<element type="segment" label="b'_2">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
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</element>
<element type="segment" label="b_2">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="m">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<condition showObject="d_2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="42" y="229"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="矩形ad"/>
</element>
<element type="boolean" label="k">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<condition showObject="d_2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="43" y="263"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="SetValue[s_s,0] SetValue[o_1,true]"/>
<caption val="矩形bc"/>
</element>
<element type="boolean" label="o">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<condition showObject="d_2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="43" y="402"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="SetValue[s_c,0] SetValue[p,true] SetValue[d_1,false]"/>
<caption val="切割塊1"/>
</element>
<element type="boolean" label="p">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="70" y="440"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="切割塊1 平移前"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="O" a1="E"/>
<output a0="q"/>
</command>
<element type="vector" label="q">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="5.392240257367336" y="0" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="O"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="E" a1="A_0"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="vector" label="r">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0" y="1.8814097931669638" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="E"/>
</element>
<element type="numeric" label="s_c">
<value val="0"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="64" y="5"/>
<labelMode val="1"/>
<slider min="0" max="10" absoluteScreenLocation="true" width="200" x="90" y="528" fixed="false" horizontal="true" showAlgebra="true"/>
<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="1"/>
<animation step="0.1" speed="11" type="3" playing="false"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="16 ≤ n ≤ 17" a1="A_0 + (((1 - s_c / 10) * x(B_0)), ((1 - s_c / 10) * y(B_0)))" a2="A_0 + ((s_c / 10 * x(B_0)), (s_c / 10 * y(B_0)))"/>
<output a0="C"/>
</command>
<element type="point" label="C">
<show object="false" label="true" ev="8"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="5.392240257367336" y="1.8814097931669638" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Translate">
<input a0="C" a1="Vector[(-r) - q]"/>
<output a0="C_2"/>
</command>
<element type="point" label="C_2">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0" y="0" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
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<element type="segment" label="a'_1">
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<element type="segment" label="b_3">
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<element type="boolean" label="d_1">
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<command name="If">
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<command name="Vector">
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<element type="segment" label="l_2">
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<element type="segment" label="m_2">
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<caption val="切割塊2(藍)"/>
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<element type="boolean" label="m_1">
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</element>
<element type="boolean" label="n_1">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="c_5">
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<element type="segment" label="n_2">
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<element type="boolean" label="o_1">
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<element type="boolean" label="d_2">
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<caption val="全手動(不建議)"/>
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<element type="boolean" label="e_2">
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<caption val="解說開始 請按箭頭"/>
</element>
<element type="button" label="button1">
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<caption val=">"/>
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<element type="button" label="button2">
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<caption val="<"/>
</element>
<element type="button" label="button3">
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<caption val="|<"/>
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<expression label="text1" exp=""說明：\left|{\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c & d\end{array} \right)}\right|=\left|ad-bc\right|為兩向量所形成的平行四邊形面積""/>
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<expression label="text2" exp=""(a,b)""/>
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<expression label="text4" exp=""先找出\,ad\,所代表的意思：""/>
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<expression label="text5" exp=""如圖，\,\,ad\,可以看做青色部分的矩形面積，\\ 但是顯然沒有全部覆蓋到，\,\,所以接著必須再做切割與平移等等處理。""/>
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<expression label="text6" exp=""先把青色矩形超出平行四邊形的部分切開，\,\,先切除下方，\\ 也就是粉紅色部分。""/>
<element type="text" label="text6">
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<element type="segment" label="a_0">
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<element type="segment" label="b_0">
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<expression label="text7" exp=""將其順著向量(c,d)，\,\,平移到平行四邊形尚未被覆蓋的部分。""/>
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<expression label="text8" exp=""平移後，\,\,平行四邊形又被多覆蓋了許多部份，\\ 但是粉紅色三角形也超出了部分。\\ 先放置，\,\,等等再處理。""/>
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<expression label="text9" exp=""同樣地，\,\,把剛剛青色的部分，\,\,多出來的地方，\,\,也就是藍色部分。""/>
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<expression label="text10" exp=""將其順著向量(a,b)，\,\,平移到平行四邊形尚未被覆蓋的部分。""/>
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<expression label="text11" exp=""平移後，\,\,平行四邊形整個都被覆蓋了。\\ 但是藍色三角形不但超出了部分，\,\,還與之前的部分重疊了。""/>
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<expression label="text12" exp=""不過，\,\,超出的部分加上重疊的部分，\,\,剛好是一個小矩形。""/>
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<expression label="text13" exp=""而這個小矩形的邊長，\,\,即是.....""/>
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<expression label="text16" exp=""所以這個小矩形的面積是bc。""/>
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<expression label="text17" exp=""扣除小矩形的面積\,bc\,之後，\,\,即可得到所要的平行四邊形面積。""/>
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<expression label="text18" exp=""這個幾何方法可以簡略說明，\,\,二階行列式的絕對值是兩向量\\ 所張成的平行四邊形面積。\\ 不過當a,b,c,d\,不是正數時，\,\,可能會出現\,ad\,或\,bc\,不是正數的情形，\\ 面積轉換上會有一點不直覺。\\ \,\\ 若a,b,c,d\,出現負數，\,\,此圖無法以正確步驟完全呈現，\\ 但是幾何拼貼的部分一樣可以參考。""/>
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<expression label="text19" exp=""展演結束""/>
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<expression label="text20" exp=""都結束了還按!?""/>
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