Exploring Similar Triangles and Homothety Transformations
2020-05-26 05:37
This GeoGebra example demonstrates the geometric construction of similar triangles and their homothety relationships. Using tools such as angle bisectors, circles, polygons, rotations, and orthogonal lines, it constructs multiple sets of similar triangles to explore properties like proportional corresponding sides and equal corresponding angles. Suitable for middle and high school geometry educati
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="d''">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="153" g="153" b="153" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-10.0" y="0.0" z="140.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="B''" a1="A'" a2="D''"/>
<output a0="poly3" a1="d''_1" a2="b''_1" a3="a'_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly3">
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.5"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="d''_1">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b''_1">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a'_1">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A'" a1="F'" a2="D''"/>
<output a0="poly4" a1="d''_2" a2="a'_2" a3="f'_1"/>
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<element type="polygon" label="poly4">
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.5"/>
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<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="d''_2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a'_2">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="f'_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="A'" a1="b''_1"/>
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<element type="line" label="l">
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</element>
<command name="Point">
<input a0="l"/>
<output a0="H"/>
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<element type="point" label="H">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="51" b="204" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="3"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
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<pointSize val="6"/>
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<caption val="反转"/>
</element>
<expression label="isFlip" exp="Distance[H, B''] - Distance[H, F']" />
<element type="numeric" label="isFlip">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="H" a1="A'"/>
<output a0="m"/>
</command>
<element type="segment" label="m">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="153" g="153" b="153" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="10" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="D''" a1="A'" a2="B''"/>
<output a0="δ"/>
</command>
<element type="angle" label="δ">
<value val="0.6202494859828215"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
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<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A'" a1="B''" a2="D''"/>
<output a0="ε"/>
</command>
<element type="angle" label="ε">
<value val="0.9505468408120751"/>
<show object="false" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
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<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
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</element>
<command name="Angle">
<input a0="B''" a1="D''" a2="A'"/>
<output a0="ζ"/>
</command>
<element type="angle" label="ζ">
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
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<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="d''_1"/>
<output a0="I"/>
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<element type="point" label="I">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="a'_1"/>
<output a0="J"/>
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<element type="point" label="J">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="b''_1"/>
<output a0="K"/>
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<element type="point" label="K">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="7.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""$ AB\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="I"/>
<labelOffset x="-52" y="-23"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""$ BD\times" + (LaTeX[scale]) + "倍$"" />
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="J"/>
<labelOffset x="-12" y="-14"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""$ AD\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="K"/>
<labelOffset x="-39" y="-22"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="d''_2"/>
<output a0="L"/>
</command>
<element type="point" label="L">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="7.0" y="-5.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="a'_2"/>
<output a0="M"/>
</command>
<element type="point" label="M">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="14.0" y="-5.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""$ AB\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="L"/>
<labelOffset x="-37" y="5"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""$ BD\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="M"/>
<labelOffset x="-9" y="-28"/>
</element>
<element type="point" label="A_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="0.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="B_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="3"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="14.0" y="10.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<caption val="B"/>
</element>
<command name="Rotate">
<input a0="A_0" a1="90*°" a2="B_0"/>
<output a0="N"/>
</command>
<element type="point" label="N">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="24.0" y="-4.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A_0" a1="B_0" a2="N"/>
<output a0="η"/>
</command>
<element type="angle" label="η">
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B_0" a1="N"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="segment" label="r">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="14.0" y="10.0" z="-296.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="r"/>
<output a0="C"/>
</command>
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="204" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-2" y="24"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="21.142929113252656" y="-1.007585537191602E-4" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A_0" a1="B_0" a2="C"/>
<output a0="poly5" a1="c_1" a2="a_0" a3="b_0"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly5">
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="c_1">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-10.0" y="14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.00010075855372" y="7.142929113252656" z="-211.43070175227862"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.007585537191602E-4" y="-21.142929113252656" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A'" a1="D''" a2="F'"/>
<output a0="θ"/>
</command>
<element type="angle" label="θ">
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B''" a1="A'"/>
<output a0="n"/>
</command>
<element type="segment" label="n">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ (abs(Length[n] - Length[b_0]) < 0.04)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.0" y="-14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="6" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B''" a1="D''"/>
<output a0="q"/>
</command>
<element type="segment" label="q">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ (abs(Length[q] - Length[a_0]) < 0.03)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.0" y="0.0" z="-140.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D''" a1="A'"/>
<output a0="s"/>
</command>
<element type="segment" label="s">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="abs(Length[q] - Length[a_0]) < 0.03"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="-14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="F'" a1="A'"/>
<output a0="t"/>
</command>
<element type="segment" label="t">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ (abs(Length[d''_2] - Length[b_0]) < 0.04)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-10.0" y="-14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D''" a1="F'"/>
<output a0="a_1"/>
</command>
<element type="segment" label="a_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ (abs(Length[a_0] - Length[a_1]) < 0.03)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.0" y="0.0" z="-140.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="button" label="button1">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="27" y="171"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="SetValue[scale,1] SetValue[G,O] SetValue[H,A'+(0,2)] SetValue[A', (0,0)]"/>
<caption val="重设"/>
</element>
<command name="Line">
<input a0="A'" a1="xAxis"/>
<output a0="b_1"/>
</command>
<element type="line" label="b_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="1.0" z="-0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="p" a1="b_1" a2="1"/>
<output a0="O"/>
</command>
<element type="point" label="O">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-4.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="F'" a1="A'" a2="D''"/>
<output a0="ι"/>
</command>
<element type="angle" label="ι">
<value val="0.6202494859828215"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="0" y="-4"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="D''" a1="F'" a2="A'"/>
<output a0="κ"/>
</command>
<element type="angle" label="κ">
<value val="0.9505468408120751"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
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