Similar Triangles Task 1: Geometric Construction and Angle Relationships
2019-10-08 05:39
This GeoGebra example demonstrates the geometric construction and verification of similar triangles. Using commands such as AngularBisector, Rotate, OrthogonalLine, and Midpoint, it constructs multiple triangle groups (poly1, poly2, and their transformed copies) with labeled corresponding angles α, β, γ, and Θ for comparison. The applet illustrates how geometric construction tools can verify trian
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<coords x="-10.0" y="0.0" z="140.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="d''">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="153" g="153" b="153" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-10.0" y="0.0" z="140.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="B''" a1="A'" a2="D''"/>
<output a0="poly3" a1="d''_1" a2="b''_1" a3="a'_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly3">
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.5"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="d''_1">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b''_1">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a'_1">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A'" a1="F'" a2="D''"/>
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<element type="polygon" label="poly4">
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.5"/>
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<labelMode val="0"/>
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<element type="segment" label="d''_2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a'_2">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="f'_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="A'" a1="b''_1"/>
<output a0="l"/>
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<element type="line" label="l">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="l"/>
<output a0="H"/>
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<element type="point" label="H">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="51" b="204" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="3"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
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<pointSize val="6"/>
<pointStyle val="5"/>
<caption val="反转"/>
</element>
<expression label="isFlip" exp="Distance[H, B''] - Distance[H, F']" />
<element type="numeric" label="isFlip">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="H" a1="A'"/>
<output a0="m"/>
</command>
<element type="segment" label="m">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="153" g="153" b="153" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="10" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="D''" a1="A'" a2="B''"/>
<output a0="δ"/>
</command>
<element type="angle" label="δ">
<value val="0.6202494859828215"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
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<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A'" a1="B''" a2="D''"/>
<output a0="ε"/>
</command>
<element type="angle" label="ε">
<value val="0.9505468408120751"/>
<show object="false" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-34" y="23"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="B''" a1="D''" a2="A'"/>
<output a0="ζ"/>
</command>
<element type="angle" label="ζ">
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
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<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="d''_1"/>
<output a0="I"/>
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<element type="point" label="I">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="a'_1"/>
<output a0="J"/>
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<element type="point" label="J">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="b''_1"/>
<output a0="K"/>
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<element type="point" label="K">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="7.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""$ AB\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="I"/>
<labelOffset x="-52" y="-23"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""$ BD\times" + (LaTeX[scale]) + "倍$"" />
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="J"/>
<labelOffset x="-12" y="-14"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""$ AD\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="K"/>
<labelOffset x="-39" y="-22"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="d''_2"/>
<output a0="L"/>
</command>
<element type="point" label="L">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="7.0" y="-5.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="a'_2"/>
<output a0="M"/>
</command>
<element type="point" label="M">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="14.0" y="-5.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""$ AB\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="L"/>
<labelOffset x="-37" y="5"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""$ BD\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="M"/>
<labelOffset x="-9" y="-28"/>
</element>
<element type="point" label="A_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="0.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="B_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="3"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="14.0" y="10.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<caption val="B"/>
</element>
<command name="Rotate">
<input a0="A_0" a1="90*°" a2="B_0"/>
<output a0="N"/>
</command>
<element type="point" label="N">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="24.0" y="-4.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A_0" a1="B_0" a2="N"/>
<output a0="η"/>
</command>
<element type="angle" label="η">
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B_0" a1="N"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="segment" label="r">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="14.0" y="10.0" z="-296.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="r"/>
<output a0="C"/>
</command>
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="204" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-2" y="24"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="21.142929113252656" y="-1.007585537191602E-4" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A_0" a1="B_0" a2="C"/>
<output a0="poly5" a1="c_1" a2="a_0" a3="b_0"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly5">
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="c_1">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-10.0" y="14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.00010075855372" y="7.142929113252656" z="-211.43070175227862"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.007585537191602E-4" y="-21.142929113252656" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A'" a1="D''" a2="F'"/>
<output a0="θ"/>
</command>
<element type="angle" label="θ">
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B''" a1="A'"/>
<output a0="n"/>
</command>
<element type="segment" label="n">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ (abs(Length[n] - Length[b_0]) < 0.04)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.0" y="-14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="6" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B''" a1="D''"/>
<output a0="q"/>
</command>
<element type="segment" label="q">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ (abs(Length[q] - Length[a_0]) < 0.03)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.0" y="0.0" z="-140.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D''" a1="A'"/>
<output a0="s"/>
</command>
<element type="segment" label="s">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="abs(Length[q] - Length[a_0]) < 0.03"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="-14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="F'" a1="A'"/>
<output a0="t"/>
</command>
<element type="segment" label="t">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ (abs(Length[d''_2] - Length[b_0]) < 0.04)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-10.0" y="-14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D''" a1="F'"/>
<output a0="a_1"/>
</command>
<element type="segment" label="a_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ (abs(Length[a_0] - Length[a_1]) < 0.03)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.0" y="0.0" z="-140.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="button" label="button1">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="27" y="171"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="SetValue[scale,1] SetValue[G,O] SetValue[H,A'+(0,2)] SetValue[A', (0,0)]"/>
<caption val="重设"/>
</element>
<command name="Line">
<input a0="A'" a1="xAxis"/>
<output a0="b_1"/>
</command>
<element type="line" label="b_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="1.0" z="-0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="p" a1="b_1" a2="1"/>
<output a0="O"/>
</command>
<element type="point" label="O">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-4.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="F'" a1="A'" a2="D''"/>
<output a0="ι"/>
</command>
<element type="angle" label="ι">
<value val="0.6202494859828215"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="0" y="-4"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="D''" a1="F'" a2="A'"/>
<output a0="κ"/>
</command>
<element type="angle" label="κ">
<value val="0.9505468408120751"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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