Exploring Similar Triangles in the Cartesian Coordinate System

2019-09-16 09:26

This GeoGebra applet demonstrates the properties and construction of similar triangles within the Cartesian coordinate system. Utilizing geometric commands such as polygon, vector, segment, and rotation, combined with coordinate axes and input boxes, users can dynamically observe and verify the geometric features of similar triangles and homothety. This interactive tool is ideal for middle school

#triangle #coordinate-geometry #transform #geometry-construction

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<expression label="A" exp="(2, 2)" type="point"/>
<element type="point" label="A">
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<expression label="Q" exp="A + (hint * (2, 0))" type="point" />
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<element type="segment" label="wnl">
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<expression label="QT1" exp="&quot;如图，$C$ 为 $AO$ 上一点，$CD \bot x$ 轴于 $D$，且 $CDEF$ 为正方形。&#xa;$A, F$ 交 $x$ 轴于 $B$，找出 $\triangle OFE$ 与 $\triangle BEF$ 相似的 $B$ 点坐标。&quot;"/>
<element type="text" label="QT1">
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<expression label="FigL" exp="(-9.5, -1)" type="point"/>
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<expression label="text11" exp="&quot;探究&quot;"/>
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<expression label="O" exp="(0, 0)" type="point"/>
<element type="point" label="O">
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<expression label="FigR" exp="(wl, -1)" type="point" />
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<element type="numeric" label="wl">
	<value val="-0.5"/>
	<symbolic val="true" />
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	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
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	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<animation speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<element type="numeric" label="wr">
	<value val="6.5"/>
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<element type="numeric" label="wu">
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<element type="numeric" label="wd">
	<value val="-0.5"/>
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	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
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<command name="Polygon">
	<input a0="(wl, wd)" a1="(wr, wd)" a2="(wr, wu)" a3="(wl, wu)"/>
	<output a0="wn" a1="wnd" a2="wnr" a3="wnu" a4="wnl"/>
</command>
<element type="polygon" label="wn">
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="204"/>
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	<selectionAllowed val="false"/>
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<element type="segment" label="wnd">
	<show object="true" label="true"/>
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	<layer val="0"/>
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	<auxiliary val="false"/>
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	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
	<eqnStyle style="explicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
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<element type="segment" label="wnr">
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<auxiliary val="false"/>
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	<eqnStyle style="explicit"/>
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	<keepTypeOnTransform val="true"/>
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<element type="segment" label="wnu">
	<show object="true" label="true" ev="4"/>
	<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
	<layer val="0"/>
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	<eqnStyle style="explicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="wnl">
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelOffset x="-34" y="-1"/>
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<expression label="text8" exp="&quot;平面直角坐标系中的相似-上&quot;"/>
<element type="text" label="text8">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<objColor r="255" g="255" b="102" alpha="0"/>
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<element type="boolean" label="blFig">
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	<caption val="原题"/>
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<element type="button" label="bt1">
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	<fixed val="true"/>
	<auxiliary val="true"/>
	<ggbscript val="SetValue(QType,1)&#xa;SetColor(bt1,0,0,1)&#xa;SetColor(bt2,0,0,0)&#xa;SetColor(bt0,0,0,0)&#xa;SetBackgroundColor(bt1,1,1,0)&#xa;SetBackgroundColor(bt2,1,1,1)&#xa;SetBackgroundColor(bt0,1,1,1)&#xa;"/>
	<font serif="false" sizeM="2" size="16" style="0"/>
	<caption val="(1)"/>
</element>
<element type="button" label="bt2">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
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	<labelMode val="0"/>
	<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
	<auxiliary val="true"/>
	<ggbscript val="SetValue(QType,2)&#xa;SetColor(bt2,0,0,1)&#xa;SetColor(bt1,0,0,0)&#xa;SetColor(bt0,0,0,0)&#xa;SetBackgroundColor(bt2,1,1,0)&#xa;SetBackgroundColor(bt1,1,1,1)&#xa;SetBackgroundColor(bt0,1,1,1)&#xa;SetValue(a,1)"/>
	<font serif="false" sizeM="2" size="16" style="0"/>
	<caption val="(2)"/>
</element>
<expression label="QT1" exp="&quot;如图，$C$ 为 $AO$ 上一点，$CD \bot x$ 轴于 $D$，且 $CDEF$ 为正方形。&#xa;$A, F$ 交 $x$ 轴于 $B$，找出 $\triangle OFE$ 与 $\triangle BEF$ 相似的 $B$ 点坐标。&quot;"/>
<element type="text" label="QT1">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<bgColor r="255" g="239" b="213" alpha="255"/>
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	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
	<absoluteScreenLocation x="13" y="45"/>
</element>
<element type="numeric" label="QType">
	<value val="0"/>
	<symbolic val="true" />
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<slider min="0" max="2" absoluteScreenLocation="true" width="200" fixed="true" horizontal="true" showAlgebra="true"/>
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	<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<expression label="text10" exp="&quot;提示&quot;"/>
<element type="text" label="text10">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<objColor r="51" g="255" b="0" alpha="0"/>
	<bgColor r="0" g="0" b="0" alpha="255"/>
	<layer val="2"/>
	<labelMode val="0"/>
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</element>
<expression label="FigL" exp="(-9.5, -1)" type="point"/>
<element type="point" label="FigL">
	<show object="false" label="true" ev="4"/>
	<objColor r="21" g="101" b="192" alpha="0"/>
	<layer val="5"/>
	<labelMode val="0"/>
	<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
	<coords x="-9.5" y="-1" z="1"/>
	<pointSize val="5"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text11" exp="&quot;探究&quot;"/>
<element type="text" label="text11">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
	<bgColor r="0" g="0" b="0" alpha="255"/>
	<layer val="5"/>
	<labelMode val="0"/>
	<absoluteScreenLocation x="354" y="25"/>
</element>
<expression label="O" exp="(0, 0)" type="point"/>
<element type="point" label="O">
	<show object="true" label="true" ev="4"/>
	<objColor r="21" g="101" b="192" alpha="0"/>
	<layer val="5"/>
	<labelOffset x="-28" y="11"/>
	<labelMode val="3"/>
	<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
	<coords x="0" y="0" z="1"/>
	<pointSize val="2"/>
	<pointStyle val="0"/>
	<caption val="$%n$"/>
</element>
<command name="Vector">
	<input a0="(wl, 0)" a1="(wr, 0)"/>
	<output a0="xaxis"/>
</command>
<element type="vector" label="xaxis">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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	<coords x="7" y="0" z="0"/>
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	<coordStyle style="cartesian"/>
	<startPoint  x="-0.5" y="0" z="1"/>
</element>
<command name="Vector">
	<input a0="(0, wd)" a1="(0, wu)"/>
	<output a0="yaxis"/>
</command>
<element type="vector" label="yaxis">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<coords x="0" y="4" z="0"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
	<coordStyle style="cartesian"/>
	<startPoint  x="0" y="-0.5" z="1"/>
</element>
<expression label="FigR" exp="(wl, -1)" type="point" />
<element type="point" label="FigR">
	<show object="false" label="false" ev="4"/>
	<objColor r="21" g="101" b="192" alpha="0"/>
	<layer val="0"/>
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	<pointSize val="5"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="button" label="bt0">
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="8"/>
	<labelOffset x="223" y="4"/>
	<labelMode val="0"/>
	<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
	<auxiliary val="true"/>
	<ggbscript val="SetValue(blFig,If(blFig,False,True))&#xa;SetColor(bt0,If(blFig,&quot;#0000FF&quot;,&quot;#000000&quot;))&#xa;SetBackgroundColor(bt0,If(blFig,&quot;#FFFF00&quot;,&quot;#FFFFFF&quot;))"/>
	<font serif="false" sizeM="2" size="16" style="0"/>
	<caption val="原题"/>
</element>
<command name="Textfield">
	<input a0="k"/>
	<output a0="InputBox1"/>
</command>
<element type="textfield" label="InputBox1">
	<show object="false" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="1"/>
	<layer val="8"/>
	<labelOffset x="451" y="6"/>
	<labelMode val="0"/>
	<auxiliary val="true"/>
	<startPoint number="0" x="-2.0101478480484674" y="2.3957110383469975" z="1"/>
	<startPoint x="-2.0101478480484674" y="2.3957110383469975" z="1"/>	<linkedGeo exp="k"/>
	<length val="2"/>
	<caption val="k"/>
</element>
<command name="Textfield">
	<input a0="d"/>
	<output a0="InputBox2"/>
</command>
<element type="textfield" label="InputBox2">
	<show object="false" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="1"/>
	<layer val="8"/>
	<labelOffset x="526" y="6"/>
	<labelMode val="0"/>
	<auxiliary val="true"/>
	<linkedGeo exp="d"/>
	<length val="2"/>
	<caption val="d"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="O" a1="A"/>
	<output a0="sOA"/>
</command>
<element type="segment" label="sOA">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelOffset x="-19" y="7"/>
	<labelMode val="2"/>
	<coords x="-2" y="2" z="0"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
	<eqnStyle style="explicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Point">
	<input a0="sOA"/>
	<output a0="C"/>
</command>
<element type="point" label="C">
	<show object="true" label="true" ev="4"/>
	<objColor r="255" g="0" b="255" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelOffset x="-28" y="11"/>
	<labelMode val="3"/>
	<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
	<coords x="1.4188803173710554" y="1.4188803173710554" z="1"/>
	<pointSize val="5"/>
	<pointStyle val="2"/>
	<caption val="$%n$"/>
</element>
<command name="Intersect">
	<input a0="OrthogonalLine[C, y = 0]" a1="y = 0"/>
	<output a0="D"/>
</command>
<element type="point" label="D">
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelOffset x="-26" y="10"/>
	<labelMode val="3"/>
	<coords x="1.4188803173710554" y="0" z="1"/>
	<pointSize val="2"/>
	<pointStyle val="0"/>
	<caption val="$%n$"/>
</element>
<command name="Rotate">
	<input a0="C" a1="((-π)) / 2" a2="D"/>
	<output a0="E"/>
</command>
<element type="point" label="E">
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="21" g="101" b="192" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelOffset x="-27" y="9"/>
	<labelMode val="3"/>
	<coords x="2.8377606347421107" y="0" z="1"/>
	<pointSize val="2"/>
	<pointStyle val="0"/>
	<caption val="$%n$"/>
</element>
<expression label="F" exp="C + E - D" type="point" />
<element type="point" label="F">
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelOffset x="-4" y="7"/>
	<labelMode val="3"/>
	<coords x="2.8377606347421107" y="1.4188803173710554" z="1"/>
	<pointSize val="2"/>
	<pointStyle val="0"/>
	<caption val="$%n$"/>
</element>
<command name="Intersect">
	<input a0="Line[A, F]" a1="y = 0"/>
	<output a0="B"/>
</command>
<element type="point" label="B">
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelOffset x="-56" y="46"/>
	<labelMode val="3"/>
	<coords x="2.8377606347421107" y="0" z="0.5811196826289446"/>
	<pointSize val="2"/>
	<pointStyle val="0"/>
	<caption val="$%n%v$"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="A" a1="B"/>
	<output a0="sAB"/>
</command>
<element type="segment" label="sAB">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelMode val="1"/>
	<coords x="2" y="2.8832636710983195" z="-9.766527342196639"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
	<eqnStyle style="explicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="C" a1="F"/>
	<output a0="sCF"/>
</command>
<element type="segment" label="sCF">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelMode val="0"/>
	<coords x="0" y="1.4188803173710554" z="-2.0132213550229867"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
	<eqnStyle style="explicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="C" a1="D"/>
	<output a0="sCD"/>
</command>
<element type="segment" label="sCD">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelMode val="0"/>
	<coords x="1.4188803173710554" y="0" z="-2.0132213550229867"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
	<eqnStyle style="explicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="E" a1="F"/>
	<output a0="sEF"/>
</command>
<element type="segment" label="sEF">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelMode val="0"/>
	<coords x="-1.4188803173710554" y="0" z="4.026442710045973"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
	<eqnStyle style="explicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
	<input a0="O" a1="E" a2="F"/>
	<output a0="plOFE" a1="f" a2="o" a3="e"/>
</command>
<element type="polygon" label="plOFE">
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="204"/>
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
	<layer val="8"/>
	<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="f">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelMode val="0"/>
	<auxiliary val="false"/>
	<coords x="0" y="2.8377606347421107" z="0"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
	<eqnStyle style="explicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="o">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelMode val="0"/>
	<auxiliary val="false"/>
	<coords x="-1.4188803173710554" y="0" z="4.026442710045973"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
	<eqnStyle style="explicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="e">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
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	<labelMode val="0"/>
	<auxiliary val="false"/>
	<coords x="1.4188803173710554" y="-2.8377606347421107" z="0"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
	<eqnStyle style="explicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
	<input a0="B" a1="E" a2="F"/>
	<output a0="plBEF" a1="f_1" a2="b_1" a3="e_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="plBEF">
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="204"/>
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="102" g="153" b="255" alpha="0.1"/>
	<layer val="8"/>
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<expression label="text9" exp="&quot;当$C$ 在 $&quot; + (LaTeX[C]) + &quot;$时，$EF = &quot; + (LaTeX[sEF / sBE]) + &quot; BE$。&quot;" />
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