Geometric Demonstration of Shear Matrix in Y-Direction
2017-05-17 02:59
This example demonstrates a shear matrix transformation along the y-direction in 2D space. Using GeoGebra, it constructs a shear matrix M and its inverse invM to visualize how polygons, vectors, and circles transform under shearing. Users can observe the correspondence between original and transformed figures, understand how shear matrices act on coordinate points, and explore matrix inversion for
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Geometric Transformations GeoGebra Book
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<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="7.0" A3="0.0" A4="2.0" A5="-2.0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Radius">
<input a0="g"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="numeric" label="r">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<cascell caslabel="h" >
<cellPair>
<inputCell>
<expression value="h:=(((invM (x, y)) - G) ((invM (x, y)) - G)) = r²" eval="Evaluate[(((invM * (x, y)) - G) * ((invM * (x, y)) - G)) = r^(2)]" evalCmd=""/>
</inputCell>
<outputCell>
<expression value="h: (x + 2)^(2) + ((((-27)) / 50 * x) + y - 2)^(2) = 1" native="true"/>
</outputCell>
</cellPair>
</cascell>
<element type="conic" label="h">
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<objColor r="0" g="153" b="0" alpha="0.5"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="0.6080025278357133" y0="0.7939350893778298" z0="1.0" x1="-0.7939350893778298" y1="0.6080025278357133" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.2916" A1="1.0" A2="7.0" A3="-0.54" A4="3.08" A5="-2.0"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Line">
<input a0="O" a1="O + u"/>
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</command>
<element type="line" label="a">
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
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<command name="Line">
<input a0="O" a1="O + v"/>
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<element type="line" label="b">
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<element type="point" label="I">
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<command name="Point">
<input a0="Circle[I, 1]"/>
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<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
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<expression label="K" exp="I + Vector[I, J] + (-2 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="K">
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<expression label="L" exp="I + (0 * Vector[I, J]) + (-2 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="L">
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<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0.0"/>
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<coords x="1.0" y="-2.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
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</element>
<expression label="N" exp="I + (0 * Vector[I, J]) + (-4 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="N">
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<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="P" exp="I + (-Vector[I, J]) + (-3 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="P">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
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<pointSize val="3"/>
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<expression label="Q" exp="I + (-Vector[I, J]) + (0 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="Q">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0.0"/>
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<isShape val="false"/>
<coords x="-1.0" y="-3.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="R" exp="I + (0 * Vector[I, J]) + OrthogonalVector[Segment[I, J]]" type="point" />
<element type="point" label="R">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<coords x="-2.0" y="-2.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="I" a1="J" a2="K" a3="L" a4="N" a5="P" a6="Q" a7="R"/>
<output a0="poly3" a1="i_1" a2="j_1" a3="k" a4="l" a5="n" a6="p" a7="q" a8="r_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly3">
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</element>
<element type="segment" label="i_1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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</element>
<element type="segment" label="j_1">
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<element type="segment" label="k">
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<element type="segment" label="l">
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</element>
<element type="segment" label="n">
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<element type="segment" label="p">
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</element>
<element type="segment" label="q">
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<element type="segment" label="r_1">
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<command name="Polygon">
<input a0="Zip[(M * p), p, {I, J, K, L, N, P, Q, R}]"/>
<output a0="poly4"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly4">
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<element type="numeric" label="hiddenUnder">
<value val="0.15"/>
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</construction>
</geogebra>