Rotation Matrix and 2D Geometric Transformation
2015-05-14 03:45
This example demonstrates the application of 2D rotation matrices in plane geometry. By constructing polygons and vectors, it shows how rotation matrix M and its inverse invM transform geometric objects including polygon vertices, circles, and segments. Commands like Rotate and Sequence dynamically visualize the rotation process, while Min and Max explore optimization problems during rotation. Ide
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Geometric Transformations GeoGebra Book
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<element type="point" label="H">
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<command name="Circle">
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<matrix A0="1" A1="1" A2="7" A3="0" A4="2" A5="-2"/>
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<command name="Radius">
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</element>
<cascell caslabel="h" >
<cellPair>
<inputCell>
<expression value="h: ((invM (x, y)) - G) ((invM (x, y)) - G) = r²" eval="Evaluate[(((invM * (x, y)) - G) * ((invM * (x, y)) - G)) = r^(2)]" evalCmd=""/>
</inputCell>
<outputCell>
<expression value="h: ((297975 / 342551 * x) + (751835 / 1524154 * y) + 2)^(2) + ((((-751835)) / 1524154 * x) + (297975 / 342551 * y) - 2)^(2) = 1" native="true"/>
</outputCell>
</cellPair>
</cascell>
<element type="conic" label="h">
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<matrix A0="1.9999999999992175" A1="1.9999999999992175" A2="14" A3="0" A4="5.4526027137417845" A5="-1.5063610609954081"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Line">
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<command name="Line">
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<element type="point" label="I">
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<command name="Point">
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<expression label="K" exp="I + Vector[I, J] + (-2 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="K">
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<expression label="L" exp="I + (0 * Vector[I, J]) + (-2 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="L">
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<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<expression label="N" exp="I + (0 * Vector[I, J]) + (-4 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="N">
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<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<expression label="P" exp="I + (-Vector[I, J]) + (-3 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="P">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<coords x="2" y="-3.0000000000000004" z="1"/>
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<expression label="Q" exp="I + (-Vector[I, J]) + (0 * OrthogonalVector[Segment[I, J]])" type="point" />
<element type="point" label="Q">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<coords x="-1" y="-3" z="1"/>
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<expression label="R" exp="I + (0 * Vector[I, J]) + OrthogonalVector[Segment[I, J]]" type="point" />
<element type="point" label="R">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<command name="Polygon">
<input a0="I" a1="J" a2="K" a3="L" a4="N" a5="P" a6="Q" a7="R"/>
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</command>
<element type="polygon" label="poly3">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="segment" label="i_1">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="segment" label="j_1">
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</element>
<element type="segment" label="k">
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<element type="segment" label="l">
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<element type="segment" label="n">
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<element type="segment" label="p">
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</element>
<element type="segment" label="q">
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<element type="segment" label="r_1">
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<command name="Polygon">
<input a0="Zip[(M * p), p, {I, J, K, L, N, P, Q, R}]"/>
<output a0="poly4"/>
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<element type="polygon" label="poly4">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="numeric" label="hiddenUnder">
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<command name="Segment">
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</element>
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<input a0="(4, 0)" a1="O" a2="S"/>
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<element type="angle" label="α">
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<command name="Segment">
<input a0="O" a1="(4, 0)"/>
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<expression label="text1" exp=""" + (LaTeX[α]) + """ />
<element type="text" label="text1">
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<command name="Angle">
<input a0="(4, 0)" a1="O" a2="S"/>
<output a0="β"/>
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<element type="angle" label="β">
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<show object="true" label="false" ev="11"/>
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<decoration type="7"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
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<expression label="text2" exp=""-" + (LaTeX[β]) + """ />
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="43"/>
<condition showObject="180° < α ≤ 350°"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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<font serif="true" sizeM="2" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="(2; ((-β)) / 2)"/>
<labelOffset x="-32" y="-21"/>
</element>
</construction>
</geogebra>