Plane Geometry Construction: Polygon Transformations and Vector Operations
2020-11-10 03:39
This GeoGebra example demonstrates the dynamic construction of a comprehensive plane geometry problem. It uses commands such as Point, Intersect, Ray, Segment, Midpoint, and Angle for fundamental geometric constructions, Polygon for drawing polygons, and Rotate, Translate, and Vector to visualize congruence transformations. Combined with Sequence and list objects, it supports parametric exploratio
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Exploring the Area of a Parallelogram
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0" y="-2" z="0"/>
<lineStyle thickness="4" type="10" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Rotate">
<input a0="J" a1="90°" a2="I"/>
<output a0="J'"/>
</command>
<element type="point" label="J'">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-2" y="0" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="I" a1="J"/>
<output a0="u"/>
</command>
<element type="vector" label="u">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="3"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="0" y="4" z="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="I"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="J" a1="I"/>
<output a0="v"/>
</command>
<element type="vector" label="v">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="-2" y="0"/>
<labelMode val="3"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="0" y="-4" z="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="J"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="I" a1="J"/>
<output a0="K"/>
</command>
<element type="point" label="K">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="2" y="2" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""高""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1" size="0" style="1"/>
<startPoint exp="K"/>
<labelOffset x="-36" y="8"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="b"/>
<output a0="L"/>
</command>
<element type="point" label="L">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.5" y="0" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""底""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1" size="0" style="1"/>
<startPoint exp="L"/>
<labelOffset x="-8" y="30"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""平行四邊形的面積 = ""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false" ev="11"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1" size="0" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="9" y="230"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""底 × 高""/>
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false" ev="11"/>
<condition showObject="o ∧ p"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1" size="0" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="234" y="230"/>
</element>
<element type="boolean" label="o">
<value val="false"/>
<show object="false" label="false" ev="3"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="352" y="157"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="結論"/>
</element>
<element type="boolean" label="p">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false" ev="3"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="352" y="207"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="答案"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="J" a1="I" a2="Translate[I, Vector[If[x(I) > x(C), Vector[C], Vector[(-C)]]]]"/>
<output a0="α"/>
</command>
<element type="angle" label="α">
<angleStyle val="1"/>
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
</element>
<expression label="xmax" exp="ceil(x(Corner[3]))" />
<element type="numeric" label="xmax">
<value val="12"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="xmin" exp="floor(x(Corner[1]))" />
<element type="numeric" label="xmin">
<value val="-10"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="ymax" exp="ceil(y(Corner[3]))" />
<element type="numeric" label="ymax">
<value val="6"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="ymin" exp="floor(y(Corner[1]))" />
<element type="numeric" label="ymin">
<value val="-3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<element type="boolean" label="q">
<value val="true"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="18" y="1"/>
<labelMode val="3"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="ShowGrid[q]"/>
<caption val="格線"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_b">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_a">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_c">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_d">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_{height}">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_e">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_f">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_g">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="show_h">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="I" a1="J"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="segment" label="r">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="-8" y="10"/>
<labelMode val="3"/>
<ggbscript val="SetValue[show_{height}, !show_{height}]
ShowLabel[r, show_{height}]"/>
<coords x="-4" y="0" z="8"/>
<lineStyle thickness="6" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="%v cm"/>
</element>
<expression label="M" exp="((n' * x(C)), y(A))" type="point" />
<element type="point" label="M">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-6" y="4" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Polygon[Element[list1, i], Element[list2, i], Element[list2, i + 1], Element[list1, i + 1]]" a1="i" a2="1" a3="n - 1"/>
<output a0="l_{11}"/>
</command>
<element type="list" label="l_{11}">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<listType val="polygon"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="l_{12}" exp="{Polygon[A, M, Element[list1, n + 1], If[n ≥ 1, Element[list1, n], B], If[n ≥ 1, Element[list2, n], B]]}" />
<element type="list" label="l_{12}">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="listplast" exp="{If[more, Polygon[D, M, Element[list1, n']]]}" />
<element type="list" label="listplast">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.20000000298023224"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="C - (0, 1)" a1="B - (0, 1)"/>
<output a0="s"/>
</command>
<element type="vector" label="s">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/>
<coords x="3" y="0" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint x="-3" y="-1" z="1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Polygon[D, A, Element[list2, i], Element[list1, i]]" a1="i" a2="1" a3="n"/>
<output a0="l1'"/>
</command>
<element type="list" label="l1'">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="a_1" exp="(t * r)" />
<element type="numeric" label="a_1">
<value val="0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="t < 1" a1="0" a2="If[t ≥ 1 ∧ t ≤ 2, t - 1, 1]"/>
<output a0="t2"/>
</command>
<element type="numeric" label="t2">
<value val="0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<algebra labelVisible="false"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="t < 2" a1="0" a2="If[t ≥ 2 ∧ t ≤ 3, t - 2, 1]"/>
<output a0="t3"/>
</command>
<element type="numeric" label="t3">
<value val="0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="t < 3" a1="0" a2="If[t ≥ 3 ∧ t ≤ 4, t - 3, 1]"/>
<output a0="t4"/>
</command>
<element type="numeric" label="t4">
<value val="0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="t < 4" a1="0" a2="If[t ≥ 4 ∧ t ≤ 5, t - 4, 1]"/>
<output a0="t5"/>
</command>
<element type="numeric" label="t5">
<value val="0"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="Union">
<input a0="l_{11}" a1="l_{12}"/>
<output a0="l1"/>
</command>
<element type="list" label="l1">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="l0" exp="{Polygon[B, C, Element[list2, 1]]}" />
<element type="list" label="l0">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="l0'" exp="{Polygon[{A, B, C, D}]}" />
<element type="list" label="l0'">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="num" exp="n' + more" />
<element type="numeric" label="num">
<value val="3"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="RemoveUndefined">
<input a0="Union[l0, l1]"/>
<output a0="listp"/>
</command>
<element type="list" label="listp">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="movedlistplast" exp="{Translate[Element[listplast, 1], Vector[(If[t ≥ 0 ∧ t ≤ 1, t, 1] * w) + (If[t ≤ 1, 0, t > 1 ∧ t ≤ num, t - 1] * s)]]}" />
<element type="list" label="movedlistplast">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.20000000298023224"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/>
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Translate[Element[listp, i], Vector[(If[t ≥ 0 ∧ t ≤ 1, t, 1] * w) + (If[t ≤ 1, 0, t > 1 ∧ t ≤ i, t - 1, i - 1] * s)]]" a1="i" a2="1" a3="n' + If[¬more, 1, 0]"/>
<output a0="movedlistp"/>
</command>
<element type="list" label="movedlistp">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.20000000298023224"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/>
<lineStyle thickness="0" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Union">
<input a0="list1" a1="{D}"/>
<output a0="list1'"/>
</command>
<element type="list" label="list1'">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="1"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Union">
<input a0="Sequence[((i * x(C)), ((m * x(C)) * i)), i, 0, n]" a1="{A}"/>
<output a0="list2'"/>
</command>
<element type="list" label="list2'">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="1"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[Element[list1', i], Element[list1', i + 1]]" a1="i" a2="1" a3="n'"/>
<output a0="lists1"/>
</command>
<element type="list" label="lists1">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Translate[Element[lists1, i], Vector[(If[t ≥ 0 ∧ t ≤ 1, t, 1] * w) + (If[t ≤ 1, 0, t > 1 ∧ t ≤ i + 1, t - 1, i] * s)]]" a1="i" a2="1" a3="n' + If[¬more, 1, 0]"/>
<output a0="movedlists1"/>
</command>
<element type="list" label="movedlists1">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/>
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[Element[list2', i], Element[list2', i + 1]]" a1="i" a2="1" a3="n'"/>
<output a0="lists2"/>
</command>
<element type="list" label="lists2">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Translate[Element[lists2, i], Vector[(If[t ≥ 0 ∧ t ≤ 1, t, 1] * w) + (If[t ≤ 1, 0, t > 1 ∧ t ≤ i, t - 1, i - 1] * s)]]" a1="i" a2="1" a3="n' + If[¬more, 1, 0]"/>
<output a0="movedlists2"/>
</command>
<element type="list" label="movedlists2">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Union">
<input a0="Sequence[(x(F), ((m * x(C)) * i)), i, 0, n]" a1="{G}"/>
<output a0="list3"/>
</command>
<element type="list" label="list3">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="1"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[Element[list3, i], Element[list3, i + 1]]" a1="i" a2="1" a3="n'"/>
<output a0="lists3"/>
</command>
<element type="list" label="lists3">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Translate[Element[lists3, i], Vector[(If[t ≤ i, 0, If[t ≥ i ∧ t < i + 1, t - i, 1]] * s)]]" a1="i" a2="1" a3="n'"/>
<output a0="movedlists3"/>
</command>
<element type="list" label="movedlists3">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<condition showObject="t > 1"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<algebra labelVisible="false"/>
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="movedbasel" exp="{Segment[Translate[B, Vector[(If[t < 1, t, 1] * w)]], Translate[C, Vector[(If[t < 1, t, 1] * w)]]]}" />
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<expression label="movedbaseu" exp="{Segment[Translate[A, Vector[(If[t < 1, t, 1] * w) + (If[t < 1, 0, t - 1] * s)]], Translate[D, Vector[(If[t < 1, t, 1] * w) + (If[t < 1, 0, t - 1] * s)]]]}" />
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<command name="Translate">
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<expression label="text6" exp=""（點擊邊，可顯示它的長度。）""/>
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<expression label="text7" exp=""點選「分割平行四邊形」，著色部份能否移到長方形 A 內？
平行四邊形 D 的面積是多少？""/>
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<expression label="text5" exp=""如何計算平行四邊形的面積？""/>
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<expression label="O2" exp="O1 + (3, 0)" type="point" />
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<element type="point" label="N1">
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<element type="segment" label="r_1">
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<expression label="text8" exp=""D""/>
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<command name="Polygon">
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<expression label="Q3" exp="Q1 + (-1, 1)" type="point" />
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