Triangle Angle Bisectors, Tangent Function, and Definite Integrals
2013-03-10 19:31
This applet demonstrates triangle geometric constructions alongside calculus. By constructing polygons, angle bisectors, and rotations, it illustrates triangle properties. It also integrates the tangent function with definite integrals to explore areas or volumes, combining elementary geometry and calculus to show connections between geometric constructions and integral applications.
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="d''">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="153" g="153" b="153" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-10.0" y="0.0" z="140.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="B''" a1="A'" a2="D''"/>
<output a0="poly3" a1="d''_1" a2="b''_1" a3="a'_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly3">
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.5"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="d''_1">
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<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="2"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b''_1">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a'_1">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
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<command name="Polygon">
<input a0="A'" a1="F'" a2="D''"/>
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<element type="polygon" label="poly4">
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.5"/>
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<labelMode val="0"/>
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<element type="segment" label="d''_2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a'_2">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="f'_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
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<command name="OrthogonalLine">
<input a0="A'" a1="b''_1"/>
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<element type="line" label="l">
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</element>
<command name="Point">
<input a0="l"/>
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<element type="point" label="H">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="51" b="204" alpha="0.0"/>
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<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
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<caption val="反轉"/>
</element>
<expression label="isFlip" exp="Distance[H, B''] - Distance[H, F']" />
<element type="numeric" label="isFlip">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="H" a1="A'"/>
<output a0="m"/>
</command>
<element type="segment" label="m">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="153" g="153" b="153" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="10" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="D''" a1="A'" a2="B''"/>
<output a0="δ"/>
</command>
<element type="angle" label="δ">
<value val="0.6202494859828215"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
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<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A'" a1="B''" a2="D''"/>
<output a0="ε"/>
</command>
<element type="angle" label="ε">
<value val="0.9505468408120751"/>
<show object="false" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
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</element>
<command name="Angle">
<input a0="B''" a1="D''" a2="A'"/>
<output a0="ζ"/>
</command>
<element type="angle" label="ζ">
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
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<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="d''_1"/>
<output a0="I"/>
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<element type="point" label="I">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="a'_1"/>
<output a0="J"/>
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<element type="point" label="J">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
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<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="b''_1"/>
<output a0="K"/>
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<element type="point" label="K">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="7.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""$ AB\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="I"/>
<labelOffset x="-52" y="-23"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""$ BD\times" + (LaTeX[scale]) + "倍$"" />
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip < 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="J"/>
<labelOffset x="-12" y="-14"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""$ AD\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="K"/>
<labelOffset x="-39" y="-22"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="d''_2"/>
<output a0="L"/>
</command>
<element type="point" label="L">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="7.0" y="-5.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="a'_2"/>
<output a0="M"/>
</command>
<element type="point" label="M">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="14.0" y="-5.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""$ AB\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="L"/>
<labelOffset x="-37" y="5"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""$ BD\times" + (LaTeX[scale]) + "倍 $"" />
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="M"/>
<labelOffset x="-9" y="-28"/>
</element>
<element type="point" label="A_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="0.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="B_0">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="3"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="14.0" y="10.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<caption val="B"/>
</element>
<command name="Rotate">
<input a0="A_0" a1="90*°" a2="B_0"/>
<output a0="N"/>
</command>
<element type="point" label="N">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="24.0" y="-4.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A_0" a1="B_0" a2="N"/>
<output a0="η"/>
</command>
<element type="angle" label="η">
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B_0" a1="N"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="segment" label="r">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="14.0" y="10.0" z="-296.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="r"/>
<output a0="C"/>
</command>
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="204" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-2" y="24"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="21.142929113252656" y="-1.007585537191602E-4" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A_0" a1="B_0" a2="C"/>
<output a0="poly5" a1="c_1" a2="a_0" a3="b_0"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly5">
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="c_1">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-10.0" y="14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.00010075855372" y="7.142929113252656" z="-211.43070175227862"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b_0">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.007585537191602E-4" y="-21.142929113252656" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A'" a1="D''" a2="F'"/>
<output a0="θ"/>
</command>
<element type="angle" label="θ">
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="isFlip ≥ 0"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B''" a1="A'"/>
<output a0="n"/>
</command>
<element type="segment" label="n">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ (abs(Length[n] - Length[b_0]) < 0.04)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.0" y="-14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="6" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B''" a1="D''"/>
<output a0="q"/>
</command>
<element type="segment" label="q">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip < 0) ∧ (abs(Length[q] - Length[a_0]) < 0.03)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.0" y="0.0" z="-140.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D''" a1="A'"/>
<output a0="s"/>
</command>
<element type="segment" label="s">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="abs(Length[q] - Length[a_0]) < 0.03"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="-14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="F'" a1="A'"/>
<output a0="t"/>
</command>
<element type="segment" label="t">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ (abs(Length[d''_2] - Length[b_0]) < 0.04)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-10.0" y="-14.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D''" a1="F'"/>
<output a0="a_1"/>
</command>
<element type="segment" label="a_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ (abs(Length[a_0] - Length[a_1]) < 0.03)"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="10.0" y="0.0" z="-140.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="15" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="button" label="button1">
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="27" y="171"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="SetValue[scale,1] SetValue[G,O] SetValue[H,A'+(0,2)] SetValue[A', (0,0)]"/>
<caption val="重設"/>
</element>
<command name="Line">
<input a0="A'" a1="xAxis"/>
<output a0="b_1"/>
</command>
<element type="line" label="b_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="1.0" z="-0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="p" a1="b_1" a2="1"/>
<output a0="O"/>
</command>
<element type="point" label="O">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-3.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="F'" a1="A'" a2="D''"/>
<output a0="ι"/>
</command>
<element type="angle" label="ι">
<value val="0.6202494859828215"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="0" y="-4"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
<allowReflexAngle val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="D''" a1="F'" a2="A'"/>
<output a0="κ"/>
</command>
<element type="angle" label="κ">
<value val="0.9505468408120751"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(isFlip ≥ 0) ∧ showangle"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="2"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<arcSize val="30"/>
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