利用极值点命令求解圆心位置
2020-12-08 08:40
本范例展示了如何使用GeoGebra的Minimize（极值点）命令来求解最优解，从而确定圆心的位置。通过构建多边形、中点、线段及圆弧等几何对象，结合向量与交点计算，演示了极值问题在几何作图中的应用。该模型涉及圆、内切圆、参数曲线及相似直角三角形等概念，直观呈现了利用最值优化方法解决复杂几何构图问题的过程。
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<expression label="O_1" exp="D + (sqrt(((2 * a) * r_1)), (-r_1))" type="point" />
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<expression label="text1" exp=""上面的小圆：\\
圆心O用极小值函数得到：\\
M到B的距离-a=r，M到CD的距离=r\\
即O=Minimize(abs((Distance(M,B)-a)-Distance(M,Line(C,D))\\
半径r=distance(O,line(C,D))\\
Circle(O, Distance(O,Line(C,D))""/>
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<caption val="下面圆"/>
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<expression label="text2" exp=""下面圆出现在：圆心在BF上。\\
即K=Intersect(cur_1,line(F,B))\\
圆上一点是交点 J = Intersect(Arc{BCA},Line(F,B),1) 或2\\
半径r=Segment(K, J)\\
Circle(K,J)\\""/>
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<expression label="p" exp="((3 - sqrt(5)) * a / 4)" />
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<expression label="K_1" exp="F + (u * (a - (2 * p)) / ((3 * a) - (4 * p)))" type="point" />
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<expression label="text3" exp=""陕西刘玉平老师提出：
正方形ABCD边长100，
（1）圆K与圆F和圆B都相切，求最大的圆K的半径。
（2）圆O与圆F、圆B和CD都相切，求圆O的半径。""/>
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<expression label="text4" exp=""圆心轨迹定义：所求圆心满足\\
(1) 在两弧外围时，圆心到B点的距离为r+a，到F点的距离为r+\frac{a}{2}\\
(2) 在两弧相交区域时，圆心到B点的距离为a-r，到F点的距离为\frac{a}{2}-r\\
故两者之差都为 \frac{a}{2},即有\\
abs((x, y) - B) - abs((x, y) - F) = ad / 2 + 0 / (y(A) < y < y(D))\\

为了排除正方形之外的情形，采用了逻辑表达\\
0/(y(A)<y<y(D)), 不要用 (x(A)<x<x(B)) 后者达不到要求""/>
<element type="text" label="text4">
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<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
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<expression label="horizonCurve" exp="horizonCurve: abs((x, y) - B) + abs((x, y) - F) = (3 * ad / 2) + 0 / (y(F) < y < y(D)) + 0 / (x(A) < x < x(B))" />
<element type="implicitpoly" label="horizonCurve">
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<element type="boolean" label="horizoncc">
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<caption val="圆心轨迹-横式"/>
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</geogebra>