圆面积与周长展开推导示意图
2021-01-14 10:04
本范例通过动态几何演示圆的面积与周长公式的推导过程。通过将圆分割成多个扇形并展开拼接，直观展示了圆周长与面积的几何意义。利用参数曲线和扇形旋转等构造，帮助用户深入理解极限思想在圆面积计算中的应用，是学习平面几何与微积分基础的优秀可视化教具。
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<element type="point" label="J">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="dissect"/>
<objColor r="153" g="153" b="153" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="3.0" y="-0.5" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="1"/>
</element>
<element type="point" label="K">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="6.283185307179586" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""circumference = ""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<absoluteScreenLocation x="682" y="411"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""= 2 π r""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="8"/>
<condition showObject="circumference ∧ m ≟ 1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="727" y="407"/>
<ggbscript val=""/>
<ggbscript onUpdate=""/>
</element>
<expression label="L" exp="(sin(((2 * 3.141592653589793) * (1 - m))) / (1 - m), (1 - cos(((2 * 3.141592653589793) * (1 - m)))) / (1 - m))" type="point" />
<element type="point" label="L">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="NaN" y="NaN" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="L" a1="1 / (1 - m)"/>
<output a0="p"/>
</command>
<element type="conic" label="p">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="-585.7289514107879" A3="0.0" A4="-6.21724717912137" A5="-0.7854209717842224"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="(0, 0)" a1="1 / (1 - m)"/>
<output a0="q"/>
</command>
<element type="conic" label="q">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="-Infinity" A3="0.0" A4="-0.0" A5="-0.0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="p" a1="q" a2="1"/>
<output a0="M"/>
</command>
<element type="point" label="M">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="102" b="102" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="NaN" y="NaN" z="NaN"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="p" a1="q" a2="2"/>
<output a0="N"/>
</command>
<element type="point" label="N">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="255" g="102" b="0" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="(0, 1)" a1="1"/>
<output a0="c_1"/>
</command>
<element type="conic" label="c_1">
<show object="false" label="false"/>
<condition showObject="m ≟ 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="0.0" A3="0.0" A4="-0.0" A5="-1.0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(0, 0)" a1="(6.283185307179586, 0)"/>
<output a0="e"/>
</command>
<element type="segment" label="e">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="m ≟ 1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="0.0" y="6.283185307179586" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="G" a1="(x(G), y(G) - 1)"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="segment" label="r">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="dissect ≟ false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="-1" y="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.0" y="0.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="3" type="10" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="text8" exp=""将周长拉直""/>
<element type="text" label="text8">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<absoluteScreenLocation x="97" y="99"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""" + ((2 * n))" />
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="dissect"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.1111111111111112" size="2" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="298" y="511"/>
</element>
<element type="boolean" label="o1">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="circumference ∧ dissect"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="382" y="72"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate=""/>
</element>
<element type="boolean" label="o2">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="circumference ∧ dissect ∧ o1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="382" y="99"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate=""/>
</element>
<expression label="text11" exp=""形状越来越接近什么图形了?""/>
<element type="text" label="text11">
<show object="true" label="false" ev="8"/>
<condition showObject="circumference ∧ dissect ∧ o1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<font serif="false" sizeM="1.1111111111111112" size="2" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="426" y="95"/>
<ggbscript val=""/>
<ggbscript onUpdate=""/>
</element>
<expression label="text12" exp=""圆面积是多少?""/>
<element type="text" label="text12">
<show object="true" label="false" ev="8"/>
<condition showObject="circumference ∧ dissect ∧ o1 ∧ o2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="1.1111111111111112" size="2" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="423" y="125"/>
<ggbscript val=""/>
<ggbscript onUpdate=""/>
</element>
<expression label="text13" exp=""Reset""/>
<element type="text" label="text13">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="102" b="153" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<startPoint exp="P"/>
<labelOffset x="-74" y="18"/>
<ggbscript val="SetValue(m,0)
SetValue(o1,False)
SetValue(o2,False)
SetValue(o,False)
SetValue(F, Point(a,0))"/>
<ggbscript onUpdate=""/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Sector[Rotate[Translate[Circle[(x(O) + 0, y(O) + 1), Element[list1, i]], Vector[Element[list1, i], Element[list2, i]]], (((-((2 * i) - 1)) * k) * θ / 2), Element[list2, i]], Rotate[Translate[Element[list1, i], Vector[Element[list1, i], Element[list2, i]]], (((-((2 * i) - 1)) * k) * θ / 2), Element[list2, i]], Rotate[Translate[Element[list1, i + 1], Vector[Element[list1, i], Element[list2, i]]], (((-((2 * i) - 1)) * k) * θ / 2), Element[list2, i]]]" a1="i" a2="1" a3="n"/>
<output a0="list3"/>
</command>
<element type="list" label="list3">
<show object="false" label="true"/>
<condition showObject="dissect ≟ true"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Sector[Rotate[Rotate[Translate[Circle[(x(O) + 0, y(O) + 1), Element[list1, i]], Vector[Element[list1, i], Element[list2, i]]], (((-((2 * i) - 1)) * k) * θ / 2), Element[list2, i]], (180° * k'), (x(O) + (n * l) - sin(θ / 2) / 2, y(O) + cos(θ / 2) / 2)], Rotate[Rotate[Translate[Element[list1, i], Vector[Element[list1, i], Element[list2, i]]], (((-((2 * i) - 1)) * k) * θ / 2), Element[list2, i]], (180° * k'), (x(O) + (n * l) - sin(θ / 2) / 2, y(O) + cos(θ / 2) / 2)], Rotate[Rotate[Translate[Element[list1, i + 1], Vector[Element[list1, i], Element[list2, i]]], (((-((2 * i) - 1)) * k) * θ / 2), Element[list2, i]], (180° * k'), (x(O) + (n * l) - sin(θ / 2) / 2, y(O) + cos(θ / 2) / 2)]]" a1="i" a2="n + 1" a3="(2 * n)"/>
<output a0="list4"/>
</command>
<element type="list" label="list4">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="dissect ≟ true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="CircleArc">
<input a0="(0, 1 / (1 - m))" a1="O" a2="L"/>
<output a0="s"/>
</command>
<element type="conicpart" label="s">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="0.0" A3="0.0" A4="-0.0" A5="-24.99999999999998"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="numeric" label="f">
<value val="0.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<slider min="0" max="1" absoluteScreenLocation="true" width="100.0" x="673.0" y="57.0" fixed="false" horizontal="true" showAlgebra="false"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<ggbscript onUpdate=""/>
</element>
<expression label="P" exp="(x(Corner[3] - f), y(Corner[3] - f))" type="point" />
<element type="point" label="P">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<ggbscript val=""/>
<ggbscript onUpdate=""/>
<coords x="8.202073492286729" y="5.7365196629978765" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="Q">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<ggbscript val=""/>
<ggbscript onUpdate=""/>
<coords x="1.450127265589943" y="3.091020264233648" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="Q" a1="1"/>
<output a0="g"/>
</command>
<element type="conic" label="g">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eigenvectors x0="1.0" y0="0.0" z0="1.0" x1="-0.0" y1="1.0" z1="1.0"/>
<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="10.657275360310416" A3="0.0" A4="-1.450127265589943" A5="-3.091020264233648"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[Q, Rotate[Q + (0, -1), (kn / n * π), Q]]" a1="kn" a2="0" a3="n"/>
<output a0="rem_1"/>
</command>
<element type="list" label="rem_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[Q, Rotate[Q + (0, -1), (kn / n * π), Q]]" a1="kn" a2="n" a3="(2 * n)"/>
<output a0="rem_2"/>
</command>
<element type="list" label="rem_2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<element type="boolean" label="o">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="dissect"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="382" y="132"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate=""/>
<caption val="对照圆"/>
</element>
</construction>
</geogebra>