柯西不等式的向量几何演示 (2)
2016-11-10 08:56
本 GeoGebra 范例通过向量几何方法直观演示柯西-施瓦茨不等式。构造包含两个向量 u、v 及其投影的几何图形，利用正交向量、夹角测量与线段长度关系，验证 |u·v| ≤ |u||v| 这一核心不等式。涉及向量运算、直角三角形构造、角度标注及坐标显示，帮助学习者从几何视角理解柯西不等式的本质与等号成立条件。
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<expression label="txtv" exp=""\fgcolor{0000ff}{\vec{v}}=\left(" + (LaTeX[If[IsInteger[c / sqrt(a)], c / sqrt(a) + "", If[IsInteger[sqrt(a)], "\frac{\fgcolor{006600}{" + c + "}}{" + (sqrt(a)) + "}", "\frac{\fgcolor{006600}{" + c + "}}{" + "\sqrt{\fgcolor{ff0000}{" + a + "}}}"]]]) + "," + (LaTeX[If[IsInteger[d / sqrt(b)], "\fgcolor{0000ff}{" + (d / sqrt(b)) + "}", If[IsInteger[sqrt(b)], "\frac{\fgcolor{0000ff}{" + d + "}}{\fgcolor{ee6600}{" + (sqrt(b)) + "}}", "\frac{\fgcolor{0000ff}{" + d + "}}{" + "\sqrt{\fgcolor{ee6600}{" + b + "}}}"]]]) + "\right)"" />
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<expression label="text4" exp=""\left| \fgcolor{ff0000}{\vec{u}} \right|^2 = \left( \frac{ \fgcolor{660099}{ " + (LaTeX[r]) + " }}{ \left| \fgcolor{0000ff}{ \vec{v} } \right| \cos\theta } \right)^2 ≥ \frac{ \fgcolor{660099}{ " + (LaTeX[r]) + " ^2 }}{ \left| \fgcolor{0000ff}{ \vec{v} } \right|^2 } =" + (LaTeX[If[IsInteger[min11 / min12], min11 / min12 + "", "\frac{" + min11 + "}{" + min12 + "}"]]) + """ />
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<expression label="text5" exp=""\left| \fgcolor{0000ff}{\vec{v}} \right| = " + (LaTeX[If[IsInteger[vnorm2], vnorm2 + "", If[v12 ≟ 1, If[IsInteger[sqrt(v11)], sqrt(v11) + "", "\sqrt{" + v11 + "}"], "\frac{" + (If[IsInteger[sqrt(v11)], sqrt(v11) + "", "\sqrt{" + v11 + "}"]) + "}{" + (If[IsInteger[sqrt(v12)], sqrt(v12) + "", "\sqrt{" + v12 + "}"]) + "}"]]]) + """ />
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