两角差的余弦公式的几何证明
2020-04-10 01:53
本范例通过几何作图方法证明两角差的余弦公式 cos(α-β) = cos α cos β + sin α sin β。利用单位圆上的点、线段、角度及正交线等几何元素,直观展示两角差余弦公式的推导过程。通过构造圆、交点、镜像、垂线等几何对象,结合角度 α 和 β 的几何关系,帮助学习者从几何视角理解三角恒等式的本质,加深对三角函数性质的认识。
所属专题
中职数学GeoGebra互动教学资源库
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="5.0" version="5.0.574.0" app="classic" platform="w" id="8f63a212-7ba8-4f62-85a7-f0c565cd2632" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/apps/xsd/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="506" height="519" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.3952569169960474" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="512" toolbar="0 | 1 501 5 19 , 67 | 2 15 45 18 , 7 37 | 514 3 9 , 13 44 , 47 | 16 51 | 551 550 11 , 20 22 21 23 , 55 56 57 , 12 | 69 | 510 511 , 512 513 | 533 531 , 534 532 , 522 523 , 537 536 , 535 | 521 520 | 36 , 38 49 560 | 571 30 29 570 31 33 | 17 | 540 40 41 42 , 27 28 35 , 6 , 502" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,1,1" size="500" window="100,100,600,400" />
<view id="4" toolbar="0 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,1" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 || 1008 1009 || 66 68 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="4097" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1" size="369" window="100,100,700,550" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="506" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="3" size="200" window="100,100,600,400" />
<view id="16" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" toolbar="0" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="128" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="480" window="50,50,500,500" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="43" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="450" window="50,50,500,500" />
</views>
<toolbar show="false" items="0 39 73 62 | 1 501 67 , 5 19 , 72 75 76 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 14 68 | 30 29 54 32 31 33 | 25 17 26 60 52 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6" position="1" help="false" />
<input show="false" cmd="true" top="algebra" />
<dockBar show="false" east="false" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="0"/>
<font size="12"/>
</gui>
<euclidianView>
<viewNumber viewNo="1"/>
<size width="505" height="518"/>
<coordSystem xZero="252.54146900713775" yZero="230.2516238790971" scale="366.56810629488757" yscale="366.5681062948879"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="3"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="0"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="0" spreadsheet="0"/>
<coordStyle val="0"/>
</kernel>
<tableview min="-2" max="2" step="1"/>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="" author="" date="">
<command name="Intersect">
<input a0="xAxis" a1="yAxis"/>
<output a0="O"/>
</command>
<element type="point" label="O">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-14" y="30"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0" y="0" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="O" a1="0.5"/>
<output a0="c"/>
</command>
<element type="conic" label="c">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="20" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="-0.25" A3="0" A4="0" A5="0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="c"/>
<output a0="A"/>
</command>
<element type="point" label="A">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-24" y="22"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="-0.45086932610509545" y="-0.21614081238289337" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Mirror">
<input a0="A" a1="O"/>
<output a0="F"/>
</command>
<element type="point" label="F">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.45086932610509545" y="0.21614081238289337" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="F"/>
<output a0="f"/>
</command>
<element type="segment" label="f">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="128" g="0" b="128" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-8" y="-40"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="-0.43228162476578674" y="0.9017386522101909" z="0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\Huge 1$"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="c"/>
<output a0="B"/>
</command>
<element type="point" label="B">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="10" y="11"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="0.454711488529784" y="-0.20793619742370045" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="c"/>
<output a0="C"/>
</command>
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-4" y="32"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="0.10039924210968423" y="-0.48981628411456574" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="B"/>
<output a0="g"/>
</command>
<element type="segment" label="g">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-7" y="-29"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="-0.008204614959192918" y="0.9055808146348794" z="0.1920337637359421"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\cos(α-β)$"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="C"/>
<output a0="h"/>
</command>
<element type="segment" label="h">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="96" g="96" b="96" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-31" y="14"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="0.2736754717316724" y="0.5512685682147797" z="0.24254351168625018"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\cosα$"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="C" a1="F"/>
<output a0="i"/>
</command>
<element type="segment" label="i">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="160" g="160" b="160" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-37" y="-12"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="-0.7059570964974591" y="0.35047008399541124" z="0.24254351168625018"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\sinα$"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="F"/>
<output a0="j"/>
</command>
<element type="segment" label="j">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-15" y="15"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="-0.4240770098065938" y="-0.0038421624246885444" z="0.1920337637359421"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="B" a1="A" a2="F"/>
<output a0="γ"/>
</command>
<element type="angle" label="γ">
<angleStyle val="0"/>
<value val="0.4379616871329182"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="32" y="-4"/>
<labelMode val="3"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="60"/>
<caption val="$α-β$"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""\cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="5" style="1"/>
<startPoint x="-0.4270460695268648" y="-0.6103869165881751" z="1"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="C" a1="A" a2="B"/>
<output a0="β"/>
</command>
<element type="angle" label="β">
<angleStyle val="0"/>
<value val="0.4698607559194938"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="30" y="18"/>
<labelMode val="3"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="55"/>
<caption val="$β$"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="B" a1="i"/>
<output a0="k"/>
</command>
<element type="line" label="k">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.35047008399541124" y="-0.7059570964974591" z="0.012568739388753858"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Line">
<input a0="B" a1="i"/>
<output a0="l"/>
</command>
<element type="line" label="l">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.7059570964974591" y="0.35047008399541124" z="0.3938822187632947"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Line">
<input a0="A" a1="C"/>
<output a0="n"/>
</command>
<element type="line" label="n">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.2736754717316724" y="0.5512685682147797" z="0.24254351168625018"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="F" a1="C" a2="A"/>
<output a0="ε"/>
</command>
<element type="angle" label="ε">
<angleStyle val="0"/>
<value val="1.5707963267948968"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="30"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="C" a1="A" a2="F"/>
<output a0="α"/>
</command>
<element type="angle" label="α">
<angleStyle val="0"/>
<value val="0.9078224430524119"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="30"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="C" a1="g"/>
<output a0="m"/>
</command>
<element type="line" label="m">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.9055808146348794" y="-0.008204614959192918" z="0.08690087344650968"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="m" a1="g"/>
<output a0="D"/>
</command>
<element type="point" label="D">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="4" y="25"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.08027132685879082" y="-0.17318910399515025" z="0.8201439275414004"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D" a1="A"/>
<output a0="p"/>
</command>
<element type="segment" label="p">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="220" g="20" b="60" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-13" y="42"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="0.004971652703408019" y="-0.5487440090274277" z="-0.11636441019741985"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\cosα\cosβ$"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D" a1="C"/>
<output a0="q"/>
</command>
<element type="segment" label="q">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.2786471244350804" y="0.002524559187351963" z="-0.026739389909148918"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A" a1="D" a2="C"/>
<output a0="δ"/>
</command>
<element type="angle" label="δ">
<angleStyle val="0"/>
<value val="1.5707963267948968"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="30"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="B" a1="g"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="line" label="r">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.9055808146348794" y="-0.008204614959192918" z="0.4100719637707002"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="C" a1="q"/>
<output a0="s"/>
</command>
<element type="line" label="s">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.002524559187351963" y="0.2786471244350804" z="0.13673936289907127"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="r" a1="s"/>
<output a0="E"/>
</command>
<element type="point" label="E">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.11538726733850431" y="-0.12279329270318257" z="0.25235820297766065"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="E"/>
<output a0="t"/>
</command>
<element type="segment" label="t">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.2786471244350803" y="0.0025245591873518936" z="-0.12617910148883027"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="E" a1="C"/>
<output a0="a"/>
</command>
<element type="segment" label="a">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-23" y="46"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="0.00323296225578501" y="-0.3568368056074517" z="-0.17510906511820365"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\sinα\sinβ$"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="C" a1="F" a2="B"/>
<output a0="ζ"/>
</command>
<element type="angle" label="ζ">
<angleStyle val="0"/>
<value val="0.4698607559194938"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-16" y="46"/>
<labelMode val="3"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="55"/>
<caption val="$β$"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="B" a1="E" a2="C"/>
<output a0="η"/>
</command>
<element type="angle" label="η">
<angleStyle val="0"/>
<value val="1.5707963267948972"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="30"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D" a1="B"/>
<output a0="b"/>
</command>
<element type="segment" label="b">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-15" y="18"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="-0.003232962255784899" y="0.35683680560745173" z="0.07566935353852226"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\sinα\sinβ$"/>
</element>
</construction>
</geogebra>