二倍角余弦公式的几何证明
2020-04-10 02:07
本GeoGebra范例通过几何作图方法演示二倍角余弦公式 cos(2α) = cos²α - sin²α 的证明过程。利用圆、射线、角、垂线、镜像对称等几何构造,直观展示二倍角与单角之间的三角函数关系。通过交点、线段和角度的精确构造,帮助学习者从几何视角理解二倍角余弦公式的本质,适用于高中三角函数教学与自主学习。
所属专题
中职数学GeoGebra互动教学资源库
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="5.0" version="5.0.574.0" app="classic" platform="w" id="14335ded-4866-446f-8a5d-22d05859f2ab" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/apps/xsd/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="591" height="676" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.338409475465313" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="512" toolbar="0 | 1 501 5 19 , 67 | 2 15 45 18 , 7 37 | 514 3 9 , 13 44 , 47 | 16 51 | 551 550 11 , 20 22 21 23 , 55 56 57 , 12 | 69 | 510 511 , 512 513 | 533 531 , 534 532 , 522 523 , 537 536 , 535 | 521 520 | 36 , 38 49 560 | 571 30 29 570 31 33 | 17 | 540 40 41 42 , 27 28 35 , 6 , 502" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,1,1" size="500" window="100,100,600,400" />
<view id="4" toolbar="0 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,1" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 || 1008 1009 || 66 68 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="4097" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1" size="379" window="100,100,700,550" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="591" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="3" size="200" window="100,100,600,400" />
<view id="16" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" toolbar="0" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="128" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="480" window="50,50,500,500" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="43" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="450" window="50,50,500,500" />
</views>
<toolbar show="false" items="0 39 73 62 | 1 501 67 , 5 19 , 72 75 76 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 14 68 | 30 29 54 32 31 33 | 25 17 26 60 52 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6" position="1" help="false" />
<input show="false" cmd="true" top="algebra" />
<dockBar show="false" east="false" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="0"/>
<font size="18"/>
</gui>
<euclidianView>
<viewNumber viewNo="1"/>
<size width="590" height="675"/>
<coordSystem xZero="275.5782449237475" yZero="250.16338025691041" scale="225.76511199561648" yscale="225.76502905539166"/>
<evSettings axes="true" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="3"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="0"/>
<axis id="0" show="true" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true" tickDistance="1" tickExpression="1"/>
<axis id="1" show="true" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true" tickDistance="1" tickExpression="1"/>
</euclidianView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="0" spreadsheet="0"/>
<coordStyle val="0"/>
</kernel>
<tableview min="-2" max="2" step="1"/>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="" author="" date="">
<command name="Intersect">
<input a0="xAxis" a1="yAxis"/>
<output a0="O"/>
</command>
<element type="point" label="O">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-24" y="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0" y="0" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="xAxis"/>
<output a0="B_1"/>
</command>
<element type="point" label="B_1">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="1.9240454328579812" y="0" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Ray">
<input a0="O" a1="B_1"/>
<output a0="f"/>
</command>
<element type="ray" label="f">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0" y="1.9240454328579812" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="point" label="P">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="1.2731008459882553" y="0.6828488048035388" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Ray">
<input a0="O" a1="P"/>
<output a0="g"/>
</command>
<element type="ray" label="g">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.6828488048035388" y="1.2731008459882553" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="B_1" a1="O" a2="P"/>
<output a0="α"/>
</command>
<element type="angle" label="α">
<angleStyle val="0"/>
<value val="0.4923159109592142"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="17" y="7"/>
<labelMode val="3"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="30"/>
<caption val="$α$"/>
</element>
<command name="Mirror">
<input a0="P" a1="xAxis"/>
<output a0="C'"/>
</command>
<element type="point" label="C'">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.2731008459882553" y="-0.6828488048035388" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="O" a1="1"/>
<output a0="c"/>
</command>
<element type="conic" label="c">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="96" g="96" b="96" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="20" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="-1" A3="0" A4="0" A5="0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Ray">
<input a0="O" a1="C'"/>
<output a0="h"/>
</command>
<element type="ray" label="h">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.6828488048035388" y="1.2731008459882553" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="C'" a1="O" a2="B_1"/>
<output a0="β"/>
</command>
<element type="angle" label="β">
<angleStyle val="0"/>
<value val="0.4923159109592142"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="18" y="18"/>
<labelMode val="3"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="40"/>
<caption val="$α$"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="C'" a1="O" a2="P"/>
<output a0="γ"/>
</command>
<element type="angle" label="γ">
<angleStyle val="0"/>
<value val="0.9846318219184284"/>
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="102" g="0" b="153" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="31" y="24"/>
<labelMode val="3"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="60"/>
<caption val="$2α$"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="c" a1="g"/>
<output a0="A" a1=""/>
</command>
<element type="point" label="A">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.8812405657621185" y="0.4726680285943414" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="c" a1="h"/>
<output a0="C" a1=""/>
</command>
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-32" y="14"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.8812405657621185" y="-0.4726680285943414" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="A" a1="xAxis"/>
<output a0="i"/>
</command>
<element type="line" label="i">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1" y="0" z="0.8812405657621185"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="xAxis" a1="i"/>
<output a0="B"/>
</command>
<element type="point" label="B">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="8" y="26"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.8812405657621185" y="0" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="OrthogonalLine">
<input a0="C" a1="g"/>
<output a0="j"/>
</command>
<element type="line" label="j">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.2731008459882553" y="-0.6828488048035388" z="0.7991473113964309"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="g" a1="j"/>
<output a0="D"/>
</command>
<element type="point" label="D">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.0173951182080359" y="0.5456967864490143" z="2.087068254277633"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Line">
<input a0="A" a1="h"/>
<output a0="k"/>
</command>
<element type="line" label="k">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.6828488048035388" y="1.2731008459882553" z="-1.203508134150114"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Line">
<input a0="C" a1="g"/>
<output a0="l"/>
</command>
<element type="line" label="l">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.6828488048035388" y="1.2731008459882553" z="1.203508134150114"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="B"/>
<output a0="m"/>
</command>
<element type="segment" label="m">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-20" y="21"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="0.4726680285943414" y="0" z="-0.41653424093614266"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\sinα$"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="C"/>
<output a0="n"/>
</command>
<element type="segment" label="n">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.4726680285943414" y="0" z="-0.41653424093614266"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="C" a1="D"/>
<output a0="p"/>
</command>
<element type="segment" label="p">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-45" y="24"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="-0.7341337402837219" y="-0.39376483701065407" z="0.46082838339308924"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\sin2α$"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="O" a1="D" a2="C"/>
<output a0="δ"/>
</command>
<element type="angle" label="δ">
<angleStyle val="0"/>
<value val="1.5707963267948968"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="20"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A" a1="B" a2="O"/>
<output a0="ε"/>
</command>
<element type="angle" label="ε">
<angleStyle val="0"/>
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="20"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="O" a1="B"/>
<output a0="s"/>
</command>
<element type="segment" label="s">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="12" y="-6"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="0" y="0.8812405657621185" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\cosα$"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""∵AD=AC×\cos∠DAC=2\sinα·\cos(90°-α)=2\sin^2α\\
∴\cos2α=OD=OA-AD=1-2\sin^2α\\
=1-2(1-\cos^2α)=2\cos^2α-1\\
=\sin^2α+\cos^2α-2\sin^2α=\cos^2α-\sin^2α""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="true" ev="40"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
<bgColor r="255" g="239" b="213" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<startPoint x="-1.1705533669912098" y="-1.0952096083699756" z="1"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D" a1="A"/>
<output a0="q"/>
</command>
<element type="segment" label="q">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="51" g="153" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-57" y="-24"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="-0.21120231690496094" y="0.39376483701065407" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$2\sin^2α$"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="O" a1="D"/>
<output a0="r"/>
</command>
<element type="segment" label="r">
<show object="true" label="true" ev="4"/>
<objColor r="128" g="0" b="128" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-57" y="-19"/>
<labelMode val="3"/>
<coords x="-0.2614657116893805" y="0.48747572875146444" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
<caption val="$\cos2α$"/>
</element>
</construction>
</geogebra>