三角形重心性质演示：中线交点与2:1比例关系
2012-12-30 04:34
本GeoGebra范例演示三角形重心的基本几何性质。重心G是三角形ABC三条中线AD、BE、CF的交点。通过构造各边中点D、E、F及对应中线，直观展示重心将每条中线分为2:1的比例关系，即顶点到重心的距离（如AG）等于重心到对边中点距离（如GE）的两倍。范例包含距离测量与文字标注，帮助学习者深入理解重心的几何特征与比例定理。
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="4.2" version="4.2.60.0" id="e57bdf51-0116-4874-a75a-791cecc3275f" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="800" height="600" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.133" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="4097" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1,1,1" size="400" window="333,89,700,550" />
<view id="4" toolbar="0 59 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 | 1011 || 1008 1009 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="998" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="3" size="133" window="100,100,250,400" />
<view id="16" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="145" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="129" window="50,50,500,500" />
<view id="64" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
</views>
<toolbar show="true" items="0 39 59 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 | 30 29 54 32 31 33 | 17 26 62 73 , 14 66 68 | 25 52 60 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6" position="1" help="true" />
<input show="true" cmd="true" top="false" />
<dockBar show="true" east="true" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="3"/>
<font size="12"/>
<graphicsSettings javaLatexFonts="false"/>
</gui>
<euclidianView>
<size width="998" height="599"/>
<coordSystem xZero="215.0" yZero="314.99999999999983" scale="50.0" yscale="49.999999999999986"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="10"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<kernel>
<continuous val="true"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="0"/>
<coordStyle val="0"/>
<angleFromInvTrig val="false"/>
</kernel>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="三角形重心(相關說明)" author="lihsing.zen" date="30 12 月 2012">
<element type="point" label="A">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="3" y="3"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<coords x="5.58" y="1.8" z="1.0"/>
<pointSize val="9"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="B">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-20" y="15"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="2.7" y="-3.62" z="1.0"/>
<pointSize val="9"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="5" y="17"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="9.58" y="-3.06" z="1.0"/>
<pointSize val="9"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="B"/>
<output a0="a"/>
</command>
<element type="segment" label="a">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="5.42" y="-2.88" z="-25.0596"/>
<lineStyle thickness="9" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="C"/>
<output a0="b"/>
</command>
<element type="segment" label="b">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="4.86" y="4.0" z="-34.318799999999996"/>
<lineStyle thickness="9" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="C"/>
<output a0="c"/>
</command>
<element type="segment" label="c">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.56" y="6.88" z="26.4176"/>
<lineStyle thickness="9" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="A" a1="B"/>
<output a0="D"/>
</command>
<element type="point" label="D">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="g"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-24" y="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="4.140000000000001" y="-0.91" z="1.0"/>
<pointSize val="7"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="B" a1="C"/>
<output a0="E"/>
</command>
<element type="point" label="E">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="h"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-3" y="34"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="6.140000000000001" y="-3.34" z="1.0"/>
<pointSize val="7"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="C" a1="A"/>
<output a0="F"/>
</command>
<element type="point" label="F">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="i"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="7.58" y="-0.63" z="1.0"/>
<pointSize val="7"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="E"/>
<output a0="d"/>
</command>
<element type="segment" label="d">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="l"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="5.14" y="0.5600000000000005" z="-29.6892"/>
<lineStyle thickness="9" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="F"/>
<output a0="e"/>
</command>
<element type="segment" label="e">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="m"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-2.99" y="4.88" z="25.7386"/>
<lineStyle thickness="9" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="C" a1="D"/>
<output a0="f"/>
</command>
<element type="segment" label="f">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="k"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-2.15" y="-5.4399999999999995" z="3.9506000000000014"/>
<lineStyle thickness="9" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="d" a1="e"/>
<output a0="G"/>
</command>
<element type="point" label="G">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="j"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="9" y="-18"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="159.29691200000002" y="-43.525695999999996" z="26.7576"/>
<pointSize val="9"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""A""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint exp="A"/>
<labelOffset x="-15" y="-17"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""B""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint exp="B"/>
<labelOffset x="-44" y="33"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""C""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint exp="C"/>
<labelOffset x="11" y="33"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""G""/>
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="j"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint exp="G"/>
<labelOffset x="41" y="14"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""D""/>
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="g"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint exp="D"/>
<labelOffset x="-41" y="0"/>
</element>
<expression label="text6" exp=""E""/>
<element type="text" label="text6">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="h"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint exp="E"/>
<labelOffset x="-14" y="55"/>
</element>
<expression label="text7" exp=""F""/>
<element type="text" label="text7">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="i"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint exp="F"/>
<labelOffset x="11" y="-7"/>
</element>
<element type="boolean" label="g">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="13" y="44"/>
<labelMode val="0"/>
<tooltipMode val="3"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="AB線段中點"/>
</element>
<element type="boolean" label="h">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="13" y="107"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="BC線段中點"/>
</element>
<element type="boolean" label="i">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="13" y="166"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="AC線段中點"/>
</element>
<element type="boolean" label="j">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="13" y="404"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="中線交點"/>
</element>
<element type="boolean" label="k">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="14" y="225"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="AB線段中線"/>
</element>
<element type="boolean" label="l">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="13" y="280"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="BC線段中線"/>
</element>
<element type="boolean" label="m">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="13" y="343"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="AC線段中線"/>
</element>
<expression label="text8" exp=""AB線段中點""/>
<element type="text" label="text8">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint x="-3.3399999999999994" y="4.800000000000001" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text9" exp=""BC線段中點""/>
<element type="text" label="text9">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint x="-3.38" y="3.5199999999999987" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text10" exp=""AC線段中點""/>
<element type="text" label="text10">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint x="-3.3600000000000003" y="2.3599999999999985" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text11" exp=""AB線段中點""/>
<element type="text" label="text11">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint x="-3.3200000000000003" y="1.1799999999999982" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text12" exp=""BC線段中點""/>
<element type="text" label="text12">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint x="-3.4" y="0.05999999999999778" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text13" exp=""AC線段中點""/>
<element type="text" label="text13">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint x="-3.3400000000000007" y="-1.2000000000000028" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text14" exp=""中線交點""/>
<element type="text" label="text14">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint x="-3.46" y="-2.320000000000003" z="1.0"/>
</element>
<command name="Distance">
<input a0="A" a1="G"/>
<output a0="distanceAG"/>
</command>
<element type="numeric" label="distanceAG">
<value val="3.4469438960073346"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="文字AG" exp=""\overline{" + (Name[A]) + "" + (Name[G]) + "} \, = \, " + (LaTeX[distanceAG]) + """ />
<element type="text" label="文字AG">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="n"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="3.3" size="28" style="0"/>
<startPoint exp="H"/>
<labelOffset x="-79" y="13"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="A" a1="G"/>
<output a0="H"/>
</command>
<element type="point" label="H">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="5.7666666666666675" y="0.08666666666666678" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="G" a1="E"/>
<output a0="I"/>
</command>
<element type="point" label="I">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="6.046666666666667" y="-2.4833333333333334" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Distance">
<input a0="G" a1="E"/>
<output a0="distanceGE"/>
</command>
<element type="numeric" label="distanceGE">
<value val="1.7234719480036673"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="文字GE" exp=""\overline{" + (Name[G]) + "" + (Name[E]) + "} \, = \, " + (LaTeX[distanceGE]) + """ />
<element type="text" label="文字GE">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="3.3" size="28" style="0"/>
<startPoint exp="I"/>
<labelOffset x="-78" y="-17"/>
</element>
<element type="boolean" label="n">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="14" y="456"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="AG線段長"/>
</element>
<element type="boolean" label="o">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="14" y="511"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="GE線段長"/>
</element>
<expression label="text15" exp=""AG線段長""/>
<element type="text" label="text15">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint x="-3.34" y="-3.4600000000000035" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text16" exp=""GE線段長""/>
<element type="text" label="text16">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="4.0" size="36" style="0"/>
<startPoint x="-3.36" y="-4.540000000000004" z="1.0"/>
</element>
</construction>
</geogebra>