Area Variation and Optimization with Fixed Perimeter

2018-04-13 06:04

This GeoGebra applet demonstrates how the area of a polygon changes under a fixed perimeter constraint. By adjusting sliders or control points to alter side ratios, users can dynamically observe the relationship between the shape and its area. It visually verifies the geometric optimization principle that for a given perimeter, the area is maximized when the shape approaches a regular polygon. Ide

#polygon #optimization #geometry-construction #slider

In collections Area: Interactive GeoGebra Activities

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<geogebra format="5.0" version="5.0.451.0" app="classic" platform="w" id="8cf09b43-5312-4228-acfa-8e66493691af"  xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
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<construction title="周界固定下長方形的面積變化" author="Anthony C.M. Or. Education Bureau, Hong Kong." date="">
	<worksheetText above="" below="柯志明，香港教育局"/>
<element type="numeric" label="perimeter">
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<expression label="a" exp="x + y = perimeter / 2" type="line" />
<element type="line" label="a">
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<command name="Point">
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<element type="point" label="P">
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<element type="point" label="O">
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<expression label="A" exp="(x(P), 0)" type="point" />
<element type="point" label="A">
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<expression label="B" exp="(0, y(P))" type="point" />
<element type="point" label="B">
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<command name="PolyLine">
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<element type="point" label="Q">
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<expression label="Q_1" exp="(x(Q), 0)" type="point" />
<element type="point" label="Q_1">
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<expression label="Q_2" exp="(0, y(Q))" type="point" />
<element type="point" label="Q_2">
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<element type="numeric" label="t">
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<command name="Intersect">
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<element type="polygon" label="poly1">
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<element type="segment" label="a_1">
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<element type="segment" label="c">
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<element type="segment" label="q_2">
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
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<element type="button" label="button1">
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	<caption val="新面積著色"/>
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<command name="LineBisector">
	<input a0="Q_2" a1="C"/>
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<element type="line" label="k">
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<command name="LineBisector">
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<element type="line" label="l">
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<command name="Intersect">
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<element type="point" label="I">
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	<pointSize val="3"/>
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<command name="Rotate">
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<element type="point" label="A&apos;_1">
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<command name="Rotate">
	<input a0="Q_1" a1="(90° * t)" a2="I"/>
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<element type="point" label="J">
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<command name="Rotate">
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<element type="point" label="Q&apos;_1">
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<command name="Rotate">
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<element type="point" label="C&apos;_1">
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<command name="Polygon">
	<input a0="A&apos;_1" a1="J" a2="Q&apos;_1" a3="C&apos;_1"/>
	<output a0="poly3" a1="a&apos;_1" a2="j_1" a3="q&apos;_1" a4="c&apos;_1"/>
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<element type="polygon" label="poly3">
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<show object="true" label="false"/>
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	<fixed val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a&apos;_1">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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	<labelMode val="0"/>
	<auxiliary val="false"/>
	<coords x="NaN" y="NaN" z="NaN"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<eqnStyle style="implicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
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<element type="segment" label="j_1">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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	<labelMode val="0"/>
	<auxiliary val="false"/>
	<coords x="NaN" y="NaN" z="NaN"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<eqnStyle style="implicit"/>
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<element type="segment" label="q&apos;_1">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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<element type="segment" label="c&apos;_1">
	<show object="true" label="false"/>
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	<eqnStyle style="implicit"/>
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<command name="Intersect">
	<input a0="Segment[B, P]" a1="Segment[Q, Q_1]"/>
	<output a0="D"/>
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<element type="point" label="D">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
	<layer val="1"/>
	<labelMode val="0"/>
	<coords x="81" y="9" z="9"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
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<command name="Polygon">
	<input a0="O" a1="Q_1" a2="D" a3="B"/>
	<output a0="poly2" a1="o_1" a2="q_1" a3="d" a4="b_1"/>
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<element type="polygon" label="poly2">
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<show object="true" label="false"/>
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<element type="segment" label="o_1">
	<show object="false" label="false"/>
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	<labelMode val="0"/>
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	<eqnStyle style="implicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
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<expression label="text2" exp="&quot;拖拉紅點，將長度減小 1 cm，闊度增加 1cm。&quot;"/>
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<expression label="Q_1" exp="(x(Q), 0)" type="point" />
<element type="point" label="Q_1">
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<expression label="Q_2" exp="(0, y(Q))" type="point" />
<element type="point" label="Q_2">
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	<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
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<element type="numeric" label="t">
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<command name="Intersect">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly1">
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<element type="segment" label="o">
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<element type="segment" label="a_1">
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<element type="segment" label="c">
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<element type="segment" label="q_2">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="e">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="f">
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<element type="button" label="button1">
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	<caption val="新面積著色"/>
</element>
<command name="LineBisector">
	<input a0="Q_2" a1="C"/>
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<element type="line" label="k">
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<command name="LineBisector">
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<element type="line" label="l">
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<command name="Intersect">
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<element type="point" label="I">
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<command name="Rotate">
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<element type="point" label="A&apos;_1">
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<command name="Rotate">
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<element type="point" label="J">
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<element type="point" label="Q&apos;_1">
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<element type="point" label="C&apos;_1">
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<command name="Polygon">
	<input a0="A&apos;_1" a1="J" a2="Q&apos;_1" a3="C&apos;_1"/>
	<output a0="poly3" a1="a&apos;_1" a2="j_1" a3="q&apos;_1" a4="c&apos;_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly3">
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<show object="true" label="false"/>
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<element type="segment" label="a&apos;_1">
	<show object="true" label="false"/>
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	<coords x="NaN" y="NaN" z="NaN"/>
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	<eqnStyle style="implicit"/>
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</element>
<element type="segment" label="j_1">
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	<eqnStyle style="implicit"/>
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<element type="segment" label="q&apos;_1">
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</element>
<element type="segment" label="c&apos;_1">
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</element>
<command name="Intersect">
	<input a0="Segment[B, P]" a1="Segment[Q, Q_1]"/>
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</command>
<element type="point" label="D">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
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	<pointStyle val="0"/>
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<command name="Polygon">
	<input a0="O" a1="Q_1" a2="D" a3="B"/>
	<output a0="poly2" a1="o_1" a2="q_1" a3="d" a4="b_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly2">
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="P ≠ Q"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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	<labelMode val="0"/>
	<fixed val="true"/>
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<element type="segment" label="o_1">
	<show object="false" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
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	<coords x="0" y="9" z="0"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="q_1">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
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	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
	<eqnStyle style="implicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="d">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
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	<eqnStyle style="implicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b_1">
	<show object="false" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
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	<outlyingIntersections val="false"/>
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</element>
<command name="LineBisector">
	<input a0="D" a1="Q_1"/>
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</command>
<element type="line" label="g">
	<show object="false" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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<command name="LineBisector">
	<input a0="Q" a1="A"/>
	<output a0="h"/>
</command>
<element type="line" label="h">
	<show object="false" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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</element>
<command name="Intersect">
	<input a0="h" a1="g"/>
	<output a0="E"/>
</command>
<element type="point" label="E">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
	<layer val="1"/>
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	<coords x="0" y="0" z="0"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Rotate">
	<input a0="B" a1="(-90° * t)" a2="E"/>
	<output a0="B&apos;"/>
</command>
<element type="point" label="B&apos;">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
	<layer val="1"/>
	<labelMode val="0"/>
	<coords x="NaN" y="NaN" z="1"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Rotate">
	<input a0="D" a1="(-90° * t)" a2="E"/>
	<output a0="D&apos;"/>
</command>
<element type="point" label="D&apos;">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
	<layer val="1"/>
	<labelMode val="0"/>
	<coords x="NaN" y="NaN" z="9"/>
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	<pointStyle val="0"/>
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<command name="Rotate">
	<input a0="Q" a1="(-90° * t)" a2="E"/>
	<output a0="Q&apos;"/>
</command>
<element type="point" label="Q&apos;">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
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<command name="Rotate">
	<input a0="Q_2" a1="(-90° * t)" a2="E"/>
	<output a0="F"/>
</command>
<element type="point" label="F">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="64" g="64" b="64" alpha="0"/>
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</element>
<command name="Polygon">
	<input a0="B&apos;" a1="D&apos;" a2="Q&apos;" a3="F"/>
	<output a0="poly4" a1="b&apos;" a2="d&apos;" a3="q&apos;" a4="f_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly4">
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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</element>
<element type="segment" label="b&apos;">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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	<eqnStyle style="implicit"/>
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	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="d&apos;">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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	<eqnStyle style="implicit"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="q&apos;">
	<show object="true" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
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	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="f_1">
	<show object="true" label="false"/>
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	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="text1" exp="&quot;See the difference&quot;"/>
<element type="text" label="text1">
	<show object="false" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
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	<absoluteScreenLocation x="24" y="472"/>
</element>
<element type="button" label="button2">
	<show object="true" label="true"/>
	<condition showObject="P ≠ Q ∧ t ≠ 1"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
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	<labelOffset x="33" y="476"/>
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	<auxiliary val="true"/>
	<ggbscript val="t = 0&#10;StartAnimation[t]&#10;SetValue[show_m, true]"/>
	<caption val="有何分別？"/>
</element>
<expression label="text2" exp="&quot;拖拉紅點，將長度減小 1 cm，闊度增加 1cm。&quot;"/>
<element type="text" label="text2">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="P ≟ Q"/>
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	<absoluteScreenLocation x="16" y="30"/>
</element>
<expression label="text3" exp="&quot;周界是否有改變？&#10;面積是增加了還是減小了？點擊「有何分別？」鈕。&quot;"/>
<element type="text" label="text3">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="P ≠ Q"/>
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</element>
<expression label="A1" exp="&quot;長 (cm)&quot;"/>
<element type="text" label="A1">
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	<labelMode val="0"/>
</element>
<expression label="B1" exp="&quot;闊 (cm)&quot;"/>
<element type="text" label="B1">
	<show object="false" label="false"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="1"/>
	<labelMode val="0"/>
</element>
<expression label="C1" exp="&quot;周界 (cm)&quot;"/>
<element type="text" label="C1">
	<show object="false" label="false"/>
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