Tessellation with Congruent Triangles
2016-04-27 08:00
This GeoGebra applet demonstrates the geometric process of plane tessellation using congruent triangles. Through geometric transformations such as rotation and translation, it shows how arbitrary or specific triangles can tile a plane seamlessly without overlapping. Utilizing commands like Polygon, Rotate, and Intersect, the construction visually illustrates the mathematical relationship between t
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="d_1">
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<command name="Rotate">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly15">
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<element type="segment" label="u_1">
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<element type="segment" label="s_1">
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<command name="Point">
<input a0="Circle[V_1, Segment[G_1, H_1]]"/>
<output a0="W_1"/>
</command>
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<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<command name="Rotate">
<input a0="W_1 + (Segment[H_1, I_1], 0)" a1="Angle[I_1 - H_1] + Angle[W_1 - V_1] - Angle[H_1 - G_1]" a2="W_1"/>
<output a0="Z_1"/>
</command>
<element type="point" label="Z_1">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
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<command name="Polygon">
<input a0="V_1" a1="W_1" a2="Z_1"/>
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</command>
<element type="polygon" label="poly16">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="segment" label="z_2">
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</element>
<element type="segment" label="v_1">
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</element>
<element type="segment" label="w_1">
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<expression label ="A_2" exp="(8, 7)" type="point"/>
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<command name="Polygon">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<command name="Point">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="o_2">
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<element type="segment" label="m_3">
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<element type="segment" label="n_3">
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<command name="Point">
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<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<command name="Rotate">
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</command>
<element type="point" label="R_2">
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<command name="Polygon">
<input a0="P_2" a1="Q_2" a2="R_2"/>
<output a0="poly22" a1="r_2" a2="p_2" a3="q_2"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="segment" label="r_2">
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</element>
<element type="segment" label="p_2">
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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</element>
<element type="segment" label="q_2">
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<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label ="S_2" exp="(8, 3)" type="point"/>
<element type="point" label="S_2">
<show object="false" label="false"/>
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<command name="Point">
<input a0="Circle[S_2, Segment[M_2, N_2]]"/>
<output a0="T_2"/>
</command>
<element type="point" label="T_2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<command name="Rotate">
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</command>
<element type="point" label="U_2">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
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<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="S_2" a1="T_2" a2="U_2"/>
<output a0="poly23" a1="u_2" a2="s_2" a3="t_2"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly23">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="j_6"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="u_2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="j_6"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly29">
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<element type="segment" label="m_4">
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<element type="point" label="R_3">
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<element type="segment" label="v_3">
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<element type="segment" label="t_4">
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly32">
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<element type="segment" label="w_3">
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<element type="segment" label="z_4">
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<expression label ="B_4" exp="(8, -2)" type="point"/>
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
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<element type="point" label="D_4">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="d_4">
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<element type="segment" label="b_4">
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<expression label ="E_4" exp="(8, -2)" type="point"/>
<element type="point" label="E_4">
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
<input a0="F_4 + (Segment[T_3, V_3], 0)" a1="Angle[V_3 - T_3] + Angle[F_4 - E_4] - Angle[T_3 - S_3]" a2="F_4"/>
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<command name="Polygon">
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</command>
<element type="polygon" label="poly34">
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<element type="segment" label="g_5">
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<element type="segment" label="e_4">
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<element type="segment" label="f_4">
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<expression label ="H_4" exp="(8, -2)" type="point"/>
<element type="point" label="H_4">
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<command name="Point">
<input a0="Circle[H_4, Segment[S_3, T_3]]"/>
<output a0="I_4"/>
</command>
<element type="point" label="I_4">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
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<command name="Rotate">
<input a0="I_4 + (Segment[T_3, V_3], 0)" a1="Angle[V_3 - T_3] + Angle[I_4 - H_4] - Angle[T_3 - S_3]" a2="I_4"/>
<output a0="J_4"/>
</command>
<element type="point" label="J_4">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="H_4" a1="I_4" a2="J_4"/>
<output a0="poly35" a1="j_4" a2="h_5" a3="i_4"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly35">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="l_6"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.1"/>
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</element>
<element type="segment" label="j_4">
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</element>
<element type="segment" label="h_5">
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</element>
<element type="segment" label="i_4">
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label ="K_4" exp="(8, -2)" type="point"/>
<element type="point" label="K_4">
<show object="false" label="true"/>
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<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="Circle[K_4, Segment[S_3, T_3]]"/>
<output a0="L_4"/>
</command>
<element type="point" label="L_4">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="l_6"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="10.0" y="-2.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
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</element>
<command name="Rotate">
<input a0="L_4 + (Segment[T_3, V_3], 0)" a1="Angle[V_3 - T_3] + Angle[L_4 - K_4] - Angle[T_3 - S_3]" a2="L_4"/>
<output a0="M_4"/>
</command>
<element type="point" label="M_4">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<command name="Polygon">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="w_4">
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<element type="segment" label="z_5">
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<command name="Polygon">
<input a0="B_5" a1="C_5" a2="D_5"/>
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<element type="polygon" label="poly41">
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<element type="segment" label="d_5">
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<element type="segment" label="b_5">
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="c_5">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="51" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
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<fixed val="true"/>
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<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label ="E_5" exp="(8, -6)" type="point"/>
<element type="point" label="E_5">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="8.0" y="-6.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
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</element>
<command name="Point">
<input a0="Circle[E_5, Segment[B_5, C_5]]"/>
<output a0="F_5"/>
</command>
<element type="point" label="F_5">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<coords x="11.0" y="-6.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Rotate">
<input a0="F_5 + (Segment[C_5, D_5], 0)" a1="Angle[D_5 - C_5] + Angle[F_5 - E_5] - Angle[C_5 - B_5]" a2="F_5"/>
<output a0="G_5"/>
</command>
<element type="point" label="G_5">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="E_5" a1="F_5" a2="G_5"/>
<output a0="poly42" a1="g_6" a2="e_5" a3="f_5"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly42">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="g_6">
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="e_5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o_6"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="f_5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o_6"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
<input a0="C_6 + (Segment[C_5, D_5], 0)" a1="Angle[D_5 - C_5] + Angle[C_6 - B_6] - Angle[C_5 - B_5]" a2="C_6"/>
<output a0="D_6"/>
</command>
<element type="point" label="D_6">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
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<coords x="12.0" y="-4.0" z="1.0"/>
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<command name="Polygon">
<input a0="B_6" a1="C_6" a2="D_6"/>
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<element type="polygon" label="poly49">
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<element type="segment" label="d_6">
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<element type="segment" label="c_6">
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<expression label ="E_6" exp="(8, -6)" type="point"/>
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<element type="segment" label="g_7">
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<element type="segment" label="e_6">
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<element type="segment" label="f_6">
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<element type="boolean" label="u_3">
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<element type="boolean" label="j_6">
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<element type="boolean" label="l_6">
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<element type="boolean" label="o_6">
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<element type="point" label="H_6">
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<element type="point" label="K_6">
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<element type="point" label="L_6">
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<command name="Point">
<input a0="Circle[L_6, 4.62]"/>
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<element type="point" label="M_6">
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<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="b_7">
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</element>
<command name="Circle">
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<element type="conic" label="c_7">
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<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Circle">
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<element type="conic" label="d_7">
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<eqnStyle style="specific"/>
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<element type="point" label="N_6">
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<command name="Point">
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<element type="point" label="O_6">
<show object="false" label="false"/>
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<command name="Segment">
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</command>
<element type="segment" label="e_7">
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</element>
<command name="Intersect">
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<element type="point" label="P_6">
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<command name="Intersect">
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<element type="point" label="Q_6">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="f_7">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="h_7">
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</element>
<command name="Segment">
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<element type="segment" label="i_7">
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<element type="point" label="L_7">
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<command name="Point">
<input a0="Circle[L_7, 4.62]"/>
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<element type="point" label="M_7">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
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<command name="Segment">
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</command>
<element type="segment" label="b_8">
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</element>
<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
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<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="M_7" a1="2.31"/>
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</command>
<element type="conic" label="s_7">
<show object="false" label="false"/>
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<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="561.5683" A3="0.0" A4="-23.62" A5="-3.0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<element type="point" label="R_6">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<element type="point" label="S_6">
<show object="false" label="false"/>
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<command name="Ray">
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</command>
<element type="ray" label="j_7">
<show object="false" label="false"/>
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</element>
<command name="Intersect">
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</command>
<element type="point" label="T_6">
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</element>
<command name="Intersect">
<input a0="s_7" a1="j_7" a2="2"/>
<output a0="U_6"/>
</command>
<element type="point" label="U_6">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="24.775897919368287" y="5.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="L_7" a1="T_6"/>
<output a0="l_7"/>
</command>
<element type="segment" label="l_7">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="T_6" a1="U_6"/>
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</command>
<element type="segment" label="m_7">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="U_6" a1="M_7"/>
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</command>
<element type="segment" label="n_7">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<lineStyle thickness="6" type="15" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
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<expression label="K_{10}" exp="J_9" type="point" />
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<command name="Circle">
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<command name="Intersect">
<input a0="p_{10}" a1="q_{10}" a2="1"/>
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</command>
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<element type="point" label="U_7">
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<command name="Intersect">
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<command name="Intersect">
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<command name="Segment">
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</command>
<element type="segment" label="s_{11}">
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<element type="point" label="Z_8">
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="t_{12}">
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<command name="Ray">
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<element type="point" label="Z_{11}">
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<command name="Segment">
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<command name="Circle">
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<command name="Intersect">
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<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
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<command name="Intersect">
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<element type="point" label="N_{12}">
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<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="c_{16}" a1="e_{16}" a2="2"/>
<output a0="O_{12}"/>
</command>
<element type="point" label="O_{12}">
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<command name="Circle">
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</command>
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<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Segment">
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</command>
<element type="segment" label="h_{16}">
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</element>
<command name="Intersect">
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</command>
<element type="point" label="P_{12}">
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="O_{12}" a1="P_{12}"/>
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</command>
<element type="segment" label="i_{16}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="e_{16}" a1="f_{16}" a2="2"/>
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</command>
<element type="point" label="Q_{12}">
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="P_{12}" a1="Q_{12}"/>
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</command>
<element type="segment" label="j_{16}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="Q_{12}" a1="N_{12}"/>
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</command>
<element type="segment" label="k_{16}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="N_{12}" a1="L_{12}"/>
<output a0="l_{16}"/>
</command>
<element type="segment" label="l_{16}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="u_6"/>
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<element type="point" label="R_{12}">
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<command name="Segment">
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<element type="polygon" label="poly44_1">
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<element type="segment" label="k_{18}">
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<element type="segment" label="j_{18}">
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<element type="segment" label="l_{18}">
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<element type="segment" label="m_{18}">
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<expression label ="N_{14}" exp="(4, 15)" type="point"/>
<element type="point" label="N_{14}">
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<eqnStyle style="specific"/>
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<command name="Point">
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<element type="point" label="O_{14}">
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<command name="Point">
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<element type="point" label="P_{14}">
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="s_{18}">
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<element type="point" label="Q_{14}">
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<command name="Point">
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<element type="point" label="R_{14}">
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<command name="Point">
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<command name="Segment">
<input a0="R_{14}" a1="Q_{14}"/>
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</command>
<element type="segment" label="b_{18}">
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</element>
<command name="Segment">
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<element type="segment" label="c_{18}">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="p_{11}">
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<command name="Segment">
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</command>
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<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
<input a0="P_{15}" a1="Q_{15}"/>
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</command>
<element type="segment" label="a_{19}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="v_6"/>
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</element>
<element type="point" label="R_{15}">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
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<command name="Segment">
<input a0="P_{15}" a1="R_{15}"/>
<output a0="b_{19}"/>
</command>
<element type="segment" label="b_{19}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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</element>
<command name="Circle">
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</element>
<command name="Intersect">
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
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