Tiling with Identical Shapes (Triangles)
2016-04-27 08:15
This applet demonstrates plane tessellation using congruent triangles. Utilizing GeoGebra's rotation, translation, and polygon construction commands, it illustrates the geometric properties of seamless triangle tiling, helping users understand the mathematical principles behind polygon angle sums and plane tessellation.
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="f_1">
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<element type="segment" label="d_1">
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<command name="Rotate">
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<command name="Rotate">
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="u_1">
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<command name="Point">
<input a0="Circle[V_1, Segment[G_1, H_1]]"/>
<output a0="W_1"/>
</command>
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<command name="Rotate">
<input a0="W_1 + (Segment[H_1, I_1], 0)" a1="Angle[I_1 - H_1] + Angle[W_1 - V_1] - Angle[H_1 - G_1]" a2="W_1"/>
<output a0="Z_1"/>
</command>
<element type="point" label="Z_1">
<show object="false" label="true"/>
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<command name="Polygon">
<input a0="V_1" a1="W_1" a2="Z_1"/>
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<element type="polygon" label="poly16">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="segment" label="z_2">
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<element type="segment" label="v_1">
<show object="true" label="false"/>
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<element type="segment" label="w_1">
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<expression label ="A_2" exp="(8, 7)" type="point"/>
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<command name="Point">
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<command name="Polygon">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<command name="Point">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="o_2">
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<element type="segment" label="m_3">
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<element type="segment" label="n_3">
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<command name="Point">
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<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<command name="Rotate">
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</command>
<element type="point" label="R_2">
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<command name="Polygon">
<input a0="P_2" a1="Q_2" a2="R_2"/>
<output a0="poly22" a1="r_2" a2="p_2" a3="q_2"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly22">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<element type="segment" label="r_2">
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</element>
<element type="segment" label="p_2">
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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</element>
<element type="segment" label="q_2">
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<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label ="S_2" exp="(8, 3)" type="point"/>
<element type="point" label="S_2">
<show object="false" label="false"/>
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<command name="Point">
<input a0="Circle[S_2, Segment[M_2, N_2]]"/>
<output a0="T_2"/>
</command>
<element type="point" label="T_2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<command name="Rotate">
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</command>
<element type="point" label="U_2">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
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<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="S_2" a1="T_2" a2="U_2"/>
<output a0="poly23" a1="u_2" a2="s_2" a3="t_2"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly23">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="j_6"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="u_2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="j_6"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly29">
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<element type="segment" label="m_4">
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<element type="point" label="R_3">
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<element type="segment" label="v_3">
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<element type="segment" label="t_4">
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly32">
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<element type="segment" label="w_3">
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<element type="segment" label="z_4">
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<expression label ="B_4" exp="(8, -2)" type="point"/>
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
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<element type="point" label="D_4">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="d_4">
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<element type="segment" label="b_4">
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<expression label ="E_4" exp="(8, -2)" type="point"/>
<element type="point" label="E_4">
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
<input a0="F_4 + (Segment[T_3, V_3], 0)" a1="Angle[V_3 - T_3] + Angle[F_4 - E_4] - Angle[T_3 - S_3]" a2="F_4"/>
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<command name="Polygon">
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</command>
<element type="polygon" label="poly34">
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<element type="segment" label="g_5">
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<element type="segment" label="e_4">
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<element type="segment" label="f_4">
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<expression label ="H_4" exp="(8, -2)" type="point"/>
<element type="point" label="H_4">
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<command name="Point">
<input a0="Circle[H_4, Segment[S_3, T_3]]"/>
<output a0="I_4"/>
</command>
<element type="point" label="I_4">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
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<command name="Rotate">
<input a0="I_4 + (Segment[T_3, V_3], 0)" a1="Angle[V_3 - T_3] + Angle[I_4 - H_4] - Angle[T_3 - S_3]" a2="I_4"/>
<output a0="J_4"/>
</command>
<element type="point" label="J_4">
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="H_4" a1="I_4" a2="J_4"/>
<output a0="poly35" a1="j_4" a2="h_5" a3="i_4"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly35">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="l_6"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.1"/>
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</element>
<element type="segment" label="j_4">
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</element>
<element type="segment" label="h_5">
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</element>
<element type="segment" label="i_4">
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label ="K_4" exp="(8, -2)" type="point"/>
<element type="point" label="K_4">
<show object="false" label="true"/>
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<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="Circle[K_4, Segment[S_3, T_3]]"/>
<output a0="L_4"/>
</command>
<element type="point" label="L_4">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="l_6"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="10.0" y="-2.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
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</element>
<command name="Rotate">
<input a0="L_4 + (Segment[T_3, V_3], 0)" a1="Angle[V_3 - T_3] + Angle[L_4 - K_4] - Angle[T_3 - S_3]" a2="L_4"/>
<output a0="M_4"/>
</command>
<element type="point" label="M_4">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<command name="Polygon">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="w_4">
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<element type="segment" label="z_5">
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<command name="Polygon">
<input a0="B_5" a1="C_5" a2="D_5"/>
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<element type="polygon" label="poly41">
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<element type="segment" label="d_5">
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<element type="segment" label="b_5">
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="c_5">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="51" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
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<fixed val="true"/>
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<lineStyle thickness="4" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label ="E_5" exp="(8, -6)" type="point"/>
<element type="point" label="E_5">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<coords x="8.0" y="-6.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
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</element>
<command name="Point">
<input a0="Circle[E_5, Segment[B_5, C_5]]"/>
<output a0="F_5"/>
</command>
<element type="point" label="F_5">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<coords x="11.0" y="-6.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Rotate">
<input a0="F_5 + (Segment[C_5, D_5], 0)" a1="Angle[D_5 - C_5] + Angle[F_5 - E_5] - Angle[C_5 - B_5]" a2="F_5"/>
<output a0="G_5"/>
</command>
<element type="point" label="G_5">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="E_5" a1="F_5" a2="G_5"/>
<output a0="poly42" a1="g_6" a2="e_5" a3="f_5"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly42">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="g_6">
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="e_5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o_6"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="f_5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o_6"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
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<command name="Point">
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<command name="Rotate">
<input a0="C_6 + (Segment[C_5, D_5], 0)" a1="Angle[D_5 - C_5] + Angle[C_6 - B_6] - Angle[C_5 - B_5]" a2="C_6"/>
<output a0="D_6"/>
</command>
<element type="point" label="D_6">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
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<coords x="12.0" y="-4.0" z="1.0"/>
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<command name="Polygon">
<input a0="B_6" a1="C_6" a2="D_6"/>
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<element type="polygon" label="poly49">
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<element type="segment" label="d_6">
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<element type="segment" label="c_6">
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<expression label ="E_6" exp="(8, -6)" type="point"/>
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<element type="segment" label="g_7">
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<element type="segment" label="e_6">
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<element type="segment" label="f_6">
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<element type="boolean" label="u_3">
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<element type="boolean" label="j_6">
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<element type="boolean" label="l_6">
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<element type="boolean" label="o_6">
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<element type="point" label="H_6">
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<element type="point" label="K_6">
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<element type="point" label="L_6">
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<command name="Point">
<input a0="Circle[L_6, 4.62]"/>
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<element type="point" label="M_6">
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<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="b_7">
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</element>
<command name="Circle">
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<element type="conic" label="c_7">
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<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Circle">
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<element type="conic" label="d_7">
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<eqnStyle style="specific"/>
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<element type="point" label="N_6">
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<command name="Point">
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<element type="point" label="O_6">
<show object="false" label="false"/>
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<command name="Segment">
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</command>
<element type="segment" label="e_7">
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</element>
<command name="Intersect">
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<element type="point" label="P_6">
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<command name="Intersect">
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<element type="point" label="Q_6">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="f_7">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="h_7">
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</element>
<command name="Segment">
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<element type="segment" label="i_7">
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<element type="point" label="L_7">
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<command name="Point">
<input a0="Circle[L_7, 4.62]"/>
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<element type="point" label="M_7">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
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<command name="Segment">
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</command>
<element type="segment" label="b_8">
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</element>
<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
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<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="M_7" a1="2.31"/>
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</command>
<element type="conic" label="s_7">
<show object="false" label="false"/>
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<matrix A0="1.0" A1="1.0" A2="561.5683" A3="0.0" A4="-23.62" A5="-3.0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<element type="point" label="R_6">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<element type="point" label="S_6">
<show object="false" label="false"/>
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<command name="Ray">
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</command>
<element type="ray" label="j_7">
<show object="false" label="false"/>
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</element>
<command name="Intersect">
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</command>
<element type="point" label="T_6">
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</element>
<command name="Intersect">
<input a0="s_7" a1="j_7" a2="2"/>
<output a0="U_6"/>
</command>
<element type="point" label="U_6">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="24.775897919368287" y="5.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="L_7" a1="T_6"/>
<output a0="l_7"/>
</command>
<element type="segment" label="l_7">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="T_6" a1="U_6"/>
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</command>
<element type="segment" label="m_7">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="U_6" a1="M_7"/>
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</command>
<element type="segment" label="n_7">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<lineStyle thickness="6" type="15" typeHidden="1"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
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<expression label="K_{10}" exp="J_9" type="point" />
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<command name="Circle">
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<command name="Intersect">
<input a0="p_{10}" a1="q_{10}" a2="1"/>
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</command>
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<element type="point" label="U_7">
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<command name="Intersect">
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<command name="Intersect">
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<command name="Segment">
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</command>
<element type="segment" label="s_{11}">
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<element type="point" label="Z_8">
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="t_{12}">
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<command name="Ray">
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<element type="point" label="Z_{11}">
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<command name="Segment">
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<command name="Circle">
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<command name="Intersect">
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<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
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<command name="Intersect">
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<element type="point" label="N_{12}">
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<command name="Circle">
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<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="c_{16}" a1="e_{16}" a2="2"/>
<output a0="O_{12}"/>
</command>
<element type="point" label="O_{12}">
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<command name="Circle">
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</command>
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<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Segment">
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</command>
<element type="segment" label="h_{16}">
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</element>
<command name="Intersect">
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</command>
<element type="point" label="P_{12}">
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="O_{12}" a1="P_{12}"/>
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</command>
<element type="segment" label="i_{16}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="e_{16}" a1="f_{16}" a2="2"/>
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</command>
<element type="point" label="Q_{12}">
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="P_{12}" a1="Q_{12}"/>
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</command>
<element type="segment" label="j_{16}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="Q_{12}" a1="N_{12}"/>
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</command>
<element type="segment" label="k_{16}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="N_{12}" a1="L_{12}"/>
<output a0="l_{16}"/>
</command>
<element type="segment" label="l_{16}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="u_6"/>
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<element type="point" label="R_{12}">
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<command name="Segment">
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<element type="polygon" label="poly44_1">
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<element type="segment" label="k_{18}">
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<element type="segment" label="j_{18}">
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<element type="segment" label="l_{18}">
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<element type="segment" label="m_{18}">
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<expression label ="N_{14}" exp="(4, 15)" type="point"/>
<element type="point" label="N_{14}">
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<eqnStyle style="specific"/>
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<command name="Point">
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<element type="point" label="O_{14}">
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<command name="Point">
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<element type="point" label="P_{14}">
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="s_{18}">
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<element type="point" label="Q_{14}">
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<command name="Point">
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<element type="point" label="R_{14}">
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<command name="Point">
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<command name="Segment">
<input a0="R_{14}" a1="Q_{14}"/>
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</command>
<element type="segment" label="b_{18}">
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</element>
<command name="Segment">
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<element type="segment" label="c_{18}">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="p_{11}">
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<command name="Segment">
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</command>
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<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
<input a0="P_{15}" a1="Q_{15}"/>
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</command>
<element type="segment" label="a_{19}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="v_6"/>
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</element>
<element type="point" label="R_{15}">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
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<command name="Segment">
<input a0="P_{15}" a1="R_{15}"/>
<output a0="b_{19}"/>
</command>
<element type="segment" label="b_{19}">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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</element>
<command name="Circle">
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</element>
<command name="Intersect">
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<command name="Segment">
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<command name="Segment">
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