向量内积的几何意义与计算演示
2016-11-08 05:15
本 GeoGebra 范例演示向量内积（点积）的几何意义与计算方法。透过 Vector、UnitVector、OrthogonalVector 等命令构造向量及其正交分量，展示内积与向量长度、夹角之间的关系。互动元素包含座标显示、角度标注与多边形构造，帮助学习者直观理解内积的投影解释与代数计算，适用于线性代数与解析几何教学。
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<command name="Angle">
<input a0="O" a1="D" a2="B"/>
<output a0="α"/>
</command>
<element type="angle" label="α">
<angleStyle val="1"/>
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.45"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="25"/>
</element>
<expression label="txtA" exp=""\vec{a}""/>
<element type="text" label="txtA">
<show object="false" label="false" ev="20"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="A"/>
<labelOffset x="13" y="-19"/>
</element>
<expression label="txtB" exp=""\vec{b}""/>
<element type="text" label="txtB">
<show object="false" label="false" ev="20"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="B"/>
<labelOffset x="-32" y="-41"/>
</element>
<expression label="aw" exp="x(Corner[txtA, 2] - Corner[txtA, 1])" />
<element type="numeric" label="aw">
<value val="0.6800000000000006"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="ah" exp="y(Corner[txtA, 4] - Corner[txtA, 1])" />
<element type="numeric" label="ah">
<value val="0.839999999999999"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label ="offset" exp="30"/>
<element type="numeric" label="offset">
<value val="30"/>
<symbolic val="true" />
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<command name="TextPin">
<input a0="A" a1="offset" a2="Angle[a]" a3="aw" a4="ah"/>
<output a0="PinA"/>
</command>
<element type="point" label="PinA">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="4.26" y="0.4199999999999995" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="txA" exp=""\vec{a}""/>
<element type="text" label="txA">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="PinA"/>
</element>
<expression label="txB" exp=""\vec{b}""/>
<element type="text" label="txB">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="PinB"/>
</element>
<expression label="bw" exp="x(Corner[txtB, 2] - Corner[txtB, 1])" />
<element type="numeric" label="bw">
<value val="0.620000000000001"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="bh" exp="y(Corner[txtB, 4] - Corner[txtB, 1])" />
<element type="numeric" label="bh">
<value val="0.8599999999999985"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<command name="TextPin">
<input a0="B" a1="offset" a2="Angle[b]" a3="bw" a4="bh"/>
<output a0="PinB"/>
</command>
<element type="point" label="PinB">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-4.734264068711929" y="4.854264068711927" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="CA" exp="PinA + (aw, (-ah)) / 2" type="point" />
<element type="point" label="CA">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="4.6" y="0" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="CA" a1="aw / 2"/>
<output a0="cA"/>
</command>
<element type="conic" label="cA">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="1"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="21.044399999999996" A3="0" A4="-4.6" A5="0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<expression label="CB" exp="PinB + (bw, (-bh)) / 2" type="point" />
<element type="point" label="CB">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-4.424264068711929" y="4.424264068711928" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="CB" a1="bw / 2"/>
<output a0="cB"/>
</command>
<element type="conic" label="cB">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="1"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="39.05212509939085" A3="0" A4="4.424264068711929" A5="-4.424264068711928"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A" a1="O" a2="B"/>
<output a0="β"/>
</command>
<element type="angle" label="β">
<angleStyle val="1"/>
<value val="2.356194490192345"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="96" g="96" b="96" alpha="0.5"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="1" y="-22"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="30"/>
</element>
<command name="MidAngle">
<input a0="Angle[a]" a1="Angle[b]"/>
<output a0="angTheta"/>
</command>
<element type="numeric" label="angTheta">
<value val="1.1780972450961724"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="PinTheta" exp="(1; angTheta)" type="point" />
<element type="point" label="PinTheta">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.38268343236508984" y="0.9238795325112867" z="1"/>
<coordStyle style="polar"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""\theta""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="12" style="1"/>
<startPoint exp="PinTheta"/>
<labelOffset x="-14" y="-17"/>
</element>
<expression label="txLen" exp=""\;" + (LaTeX[p]) + "\;"" />
<element type="text" label="txLen">
<show object="false" label="false" ev="8"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="5" style="1"/>
<startPoint x="1.0000000000000022" y="4.639999999999999" z="1"/>
</element>
<expression label="wLen" exp="x(Corner[txLen, 2] - Corner[txLen, 1])" />
<element type="numeric" label="wLen">
<value val="0.7200000000000008"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="hLen" exp="y(Corner[txLen, 4] - Corner[txLen, 1])" />
<element type="numeric" label="hLen">
<value val="0.5999999999999996"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="PinLen" exp="O + (p * u) + (0.45 * vn)" type="point" />
<element type="point" label="PinLen">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="204" b="51" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="4" y="-0.45" z="1"/>
<pointSize val="2"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="PinLen" a1="0.2"/>
<output a0="cLen"/>
</command>
<element type="conic" label="cLen">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0.25"/>
<layer val="3"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="16.1625" A3="0" A4="-4" A5="0.45"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<expression label="PinProj" exp="O + (dot / p * u) + (0.45 * vn)" type="point" />
<element type="point" label="PinProj">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="153" b="204" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="-4" y="-0.45" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="PinProj" a1="0.2"/>
<output a0="cProj"/>
</command>
<element type="conic" label="cProj">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="192" b="203" alpha="0.25"/>
<layer val="3"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="16.1625" A3="0" A4="4" A5="0.45"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<expression label ="boxPad" exp="5"/>
<element type="numeric" label="boxPad">
<value val="5"/>
<symbolic val="true" />
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="3"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<expression label ="boxW" exp="230"/>
<element type="numeric" label="boxW">
<value val="230"/>
<symbolic val="true" />
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="3"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<expression label ="boxH" exp="500"/>
<element type="numeric" label="boxH">
<value val="500"/>
<symbolic val="true" />
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="3"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="{Corner[4] + (0.02 * (boxPad, (-boxPad))), Corner[4] + (0.02 * (boxPad + boxW, (-boxPad))), Corner[1] + (0.02 * (boxPad + boxW, boxPad)), Corner[1] + (0.02 * (boxPad, boxPad))}"/>
<output a0="box"/>
</command>
<element type="polygon" label="box">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="224" g="224" b="224" alpha="0.9"/>
<layer val="3"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
</construction>
</geogebra>