勾股定理的几何证明：倒水图示法
2019-06-25 09:48
本GeoGebra范例通过直观的倒水动画图示，生动演示了勾股定理的几何证明过程。利用多边形面积构造与等积变换，展示了直角三角形两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。该动态演示有助于学生深刻理解勾股定理的几何本质，是初中数学几何教学的优质辅助工具。
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<expression label="yHA" exp="y = y(HA)" type="line" />
<element type="line" label="yHA">
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="user"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="yGB" a1="Segment[B, C]"/>
<output a0="B1"/>
</command>
<element type="point" label="B1">
<show object="false" label="true"/>
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<labelMode val="0"/>
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<command name="Intersect">
<input a0="yGB" a1="Segment[C, G]"/>
<output a0="B2"/>
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<element type="point" label="B2">
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<element type="point" label="B3">
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<command name="Intersect">
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<element type="point" label="B4">
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<expression label="listB" exp="{B, B1, C, B2, G, B3, F, B4}" />
<element type="list" label="listB">
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<command name="RemoveUndefined">
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<element type="list" label="listBD">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="polyB">
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<command name="Intersect">
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<element type="point" label="A1">
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</element>
<command name="Intersect">
<input a0="yHA" a1="Segment[H, I]"/>
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<element type="point" label="A2">
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<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="yHA" a1="Segment[H, C]"/>
<output a0="A3"/>
</command>
<element type="point" label="A3">
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<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="5"/>
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</element>
<command name="Intersect">
<input a0="yHA" a1="Segment[A, C]"/>
<output a0="A4"/>
</command>
<element type="point" label="A4">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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</element>
<expression label="listA" exp="{A, A1, I, A2, H, A3, C, A4}" />
<element type="list" label="listA">
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<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
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</element>
<command name="RemoveUndefined">
<input a0="Sequence[If[y(listA(k)) ≤ y(HA), listA(k)], k, 1, Length[listA]]"/>
<output a0="listAD"/>
</command>
<element type="list" label="listAD">
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<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0"/>
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="listAD"/>
<output a0="polyA"/>
</command>
<element type="polygon" label="polyA">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="204"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="t ≥ 1 ∧ t ≤ 2 ∨ t ≥ 3"/>
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<labelMode val="2"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A" a1="B" a2="E" a3="D"/>
<output a0="wAB" a1="a_1" a2="b_1" a3="e" a4="d"/>
</command>
<element type="polygon" label="wAB">
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<condition showObject="t ≥ 2 ∧ t ≤ 3"/>
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<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="a_1">
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b_1">
<show object="false" label="false"/>
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</element>
<element type="segment" label="e">
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</element>
<element type="segment" label="d">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="C" a1="B" a2="4"/>
<output a0="wCB" a1="s" a2="f_1" a3="g_1" a4="h_1" a5="J" a6="K"/>
</command>
<element type="polygon" label="wCB">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="204"/>
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<condition showObject="t ≤ 1"/>
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<labelMode val="2"/>
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<element type="segment" label="s">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="f_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="g_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="h_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="point" label="J">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="5"/>
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</element>
<element type="point" label="K">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="true"/>
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<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A" a1="C" a2="4"/>
<output a0="wAC" a1="i_1" a2="j_1" a3="k_1" a4="l_1" a5="L" a6="M"/>
</command>
<element type="polygon" label="wAC">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="204"/>
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<condition showObject="t ≤ 1"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0.53"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-19" y="7"/>
<labelMode val="2"/>
</element>
<element type="segment" label="i_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="j_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<coords x="3.1999999999999997" y="2.3999999999999986" z="7.9999999999999964"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="k_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="true"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="l_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<coords x="-3.2000000000000006" y="-2.3999999999999995" z="8.000000000000002"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="point" label="L">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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</element>
<element type="point" label="M">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="water" exp="pAB - polyA - polyB" />
<element type="numeric" label="water">
<value val="24.999999999999996"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="waterH" exp="water / c" />
<element type="numeric" label="waterH">
<value val="4.999999999999999"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="yWater1" exp="y = (-c) + waterH" type="line" />
<element type="line" label="yWater1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="0" y="1" z="8.881784197001252e-16"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="user"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="yWater1" a1="Segment[A, D]"/>
<output a0="C1"/>
</command>
<element type="point" label="C1">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="12.499999999999996" y="-4.4408920985006246e-15" z="4.999999999999998"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="yWater1" a1="Segment[B, E]"/>
<output a0="C2"/>
</command>
<element type="point" label="C2">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-12.5" y="-4.440892098500626e-15" z="5"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="C1" a1="C2" a2="E" a3="D"/>
<output a0="wAB1" a1="c1" a2="c2" a3="e_1" a4="d_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="wAB1">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="204"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="t ≥ 1 ∧ t ≤ 2"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0.44"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="c1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="0" y="-5" z="-4.440892098500626e-15"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="c2">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="-5.000000000000001" y="8.881784197001252e-16" z="-12.500000000000002"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="e_1">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="1.7763568394002505e-15" y="5" z="-24.999999999999993"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="d_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="4.999999999999999" y="-4.440892098500626e-16" z="-12.499999999999998"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="explicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="yWater2" exp="y = waterH" type="line" />
<element type="line" label="yWater2">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<coords x="0" y="1" z="-4.999999999999999"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eqnStyle style="user"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="yWater2" a1="Segment[B, E]"/>
<output a0="C3"/>
</command>
<element type="point" label="C3">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-12.499999999999996" y="24.999999999999996" z="5"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Intersect">
<input a0="yWater2" a1="Segment[A, D]"/>
<output a0="C4"/>
</command>
<element type="point" label="C4">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="97" g="97" b="97" alpha="0"/>
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