分形几何：谢尔宾斯基地毯的迭代构造
2020-04-05 01:42
本范例演示了经典分形图形——谢尔宾斯基地毯的迭代生成过程。通过GeoGebra的多边形、缩放、序列和列表操作等命令，展示了如何从初始正方形不断进行中心挖空和比例缩放，构造出具有自相似性的分形结构。该模型直观呈现了迭代与极限在分形几何中的应用，适合探索几何变换与分形维数。
所属专题
GeoGebra与初中数学课程深度融合
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="5.0" version="5.0.574.0" app="classic" platform="d" id="b946b0a8-91f7-4b5b-b4ce-a294bc1167e2" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/apps/xsd/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="1440" height="860" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.2465277777777778" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="4" toolbar="0 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1" size="564" window="100,100,600,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 || 1008 1009 || 66 68 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="1424" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="3" size="355" window="100,100,600,400" />
<view id="16" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="399" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" toolbar="0" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="4097" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="939" window="193,153,863,506" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="512" toolbar="0 | 1 501 5 19 , 67 | 2 15 45 18 , 7 37 | 514 3 9 , 13 44 , 47 | 16 | 551 550 11 , 20 22 21 23 , 55 56 57 , 12 | 69 | 510 511 , 512 513 | 533 531 , 534 532 , 522 523 , 537 536 , 535 | 521 520 | 36 , 38 49 560 | 571 30 29 570 31 33 | 17 | 540 40 41 42 , 27 28 35 , 6 , 502" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="1576" window="100,100,600,400" />
</views>
<toolbar show="true" items="0 39 73 62 | 1 501 67 , 5 19 , 72 75 76 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 14 68 | 30 29 54 32 31 33 | 25 17 26 60 52 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6 | | 100014 100014 100001 100002 100003 100004 100005 100006 100007 100008 100009 100010 100011 100013" position="1" help="false" />
<input show="true" cmd="true" top="false" />
<dockBar show="false" east="false" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="3"/>
<font size="16"/>
<consProtColumns col0="true" col1="true" col2="false" col3="true" col4="false" col5="true" col6="true" col7="false"/>
<consProtocol useColors="true" addIcons="false" showOnlyBreakpoints="false"/>
<consProtNavigationBar id="4" playButton="true" playDelay="2.0" protButton="true" consStep="26"/>
</gui>
<euclidianView>
<viewNumber viewNo="1"/>
<size width="1424" height="679"/>
<coordSystem xZero="421.5170386567108" yZero="467.96935902040616" scale="42.8940562428213" yscale="42.89405624282113"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="0"/>
<bgColor r="0" g="0" b="0"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="9" grid="0"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true" tickDistance="1.0" tickExpression="1"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true" tickDistance="1.0" tickExpression="1"/>
</euclidianView>
<spreadsheetView>
<prefCellSize height="29"/>
<spreadsheetColumn id="0" width="382"/>
<layout showFormulaBar="true" showGrid="true" showHScrollBar="true" showVScrollBar="true" showColumnHeader="true" showRowHeader="true" allowToolTips="true" autoComplete="true"/>
</spreadsheetView>
<algebraView>
<mode val="1"/>
</algebraView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="2" spreadsheet="0"/>
<coordStyle val="0"/>
</kernel>
<tableview min="-2.0" max="2.0" step="1.0"/>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="" author="" date="">
<expression label="A" exp="(0, 8)" type="point"/>
<element type="point" label="A">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="0.0" y="8.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="B" exp="(-5, 0)" type="point"/>
<element type="point" label="B">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="-5.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="C" exp="(5, 0)" type="point"/>
<element type="point" label="C">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="5.0" y="0.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A" a1="B" a2="C"/>
<output a0="t1" a1="c" a2="a" a3="b"/>
</command>
<element type="polygon" label="t1">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0.03999999910593033"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="c">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="8.0" y="-5.0" z="40.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="0.0" y="10.0" z="-0.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="-8.0" y="-5.0" z="40.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Dilate">
<input a0="A" a1="0.5" a2="A"/>
<output a0="A'"/>
</command>
<element type="point" label="A'">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="8.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Dilate">
<input a0="B" a1="0.5" a2="A"/>
<output a0="B'"/>
</command>
<element type="point" label="B'">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-2.5" y="4.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Dilate">
<input a0="C" a1="0.5" a2="A"/>
<output a0="C'"/>
</command>
<element type="point" label="C'">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="77" g="77" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="2.5" y="4.0" z="1.0"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="A'" a1="B'" a2="C'"/>
<output a0="t1'" a1="c'" a2="a'" a3="b'"/>
</command>
<element type="polygon" label="t1'">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="c'">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="4.0" y="-2.5" z="20.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="a'">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="0.0" y="5.0" z="-20.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="b'">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="153" g="51" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="false"/>
<coords x="-4.0" y="-2.5" z="20.0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="L" exp="{A, B, C}" />
<element type="list" label="L">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Polygon[Dilate[A, 0.5, Element[L, n]], Dilate[B, 0.5, Element[L, n]], Dilate[C, 0.5, Element[L, n]]]" a1="n" a2="1" a3="3"/>
<output a0="l1"/>
</command>
<element type="list" label="l1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="A1" exp="{A, B, C}" />
<element type="list" label="A1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="true"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Zip">
<input a0="Polygon[Dilate[A, 0.5, S], Dilate[B, 0.5, S], Dilate[C, 0.5, S]]" a1="S" a2="L"/>
<output a0="A2"/>
</command>
<element type="list" label="A2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n ≥ B2"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="true"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Zip">
<input a0="Dilate[A2, 0.5, S]" a1="S" a2="L"/>
<output a0="A3"/>
</command>
<element type="list" label="A3">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n ≥ B3"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.09804" dynamicr="sin(B3)" dynamicg="0.8" dynamicb="0.5" dynamica="0.09804" colorSpace="2"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="true"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Zip">
<input a0="Dilate[A3, 0.500000000000002, S]" a1="S" a2="L"/>
<output a0="A4"/>
</command>
<element type="list" label="A4">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n ≥ B4"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.0980400000000002" dynamicr="sin(B4)" dynamicg="0.800000000000002" dynamicb="0.500000000000002" dynamica="0.0980400000000002" colorSpace="2"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="true"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<command name="Zip">
<input a0="Dilate[A4, 0.500000000000002, S]" a1="S" a2="L"/>
<output a0="A5"/>
</command>
<element type="list" label="A5">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n ≥ B5"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.0980400000000002" dynamicr="sin(B5)" dynamicg="0.800000000000002" dynamicb="0.500000000000002" dynamica="0.0980400000000002" colorSpace="2"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="true"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<element type="numeric" label="n">
<value val="7.0"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<bgColor r="160" g="160" b="160" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<slider min="2" max="7" absoluteScreenLocation="true" width="100.0" x="592.0" y="615.0" fixed="false" horizontal="true" showAlgebra="true"/>
<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<expression label="B1" exp="1"/>
<element type="numeric" label="B1">
<value val="1.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="B2" exp="2"/>
<element type="numeric" label="B2">
<value val="2.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="B3" exp="3"/>
<element type="numeric" label="B3">
<value val="3.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="B4" exp="4"/>
<element type="numeric" label="B4">
<value val="4.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="B5" exp="5"/>
<element type="numeric" label="B5">
<value val="5.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<command name="Zip">
<input a0="Dilate[A5, 0.500000000000002, S]" a1="S" a2="L"/>
<output a0="A6"/>
</command>
<element type="list" label="A6">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n ≥ B6"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.0980400000000002" dynamicr="sin(B6)" dynamicg="0.800000000000002" dynamicb="0.500000000000002" dynamica="0.0980400000000002" colorSpace="2"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="true"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="B6" exp="6"/>
<element type="numeric" label="B6">
<value val="6.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<command name="Zip">
<input a0="Dilate[A6, 0.500000000000004, S]" a1="S" a2="L"/>
<output a0="A7"/>
</command>
<element type="list" label="A7">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="n ≥ B7"/>
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.0980400000000004" dynamicr="sin(B7)" dynamicg="0.800000000000004" dynamicb="0.500000000000004" dynamica="0.0980400000000004" colorSpace="2"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<auxiliary val="true"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="5"/>
<angleStyle val="0"/>
</element>
<expression label="B7" exp="7"/>
<element type="numeric" label="B7">
<value val="7.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""【分形图形】迭代-谢尔宾斯基地毯""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="16" style="0"/>
<startPoint x="-8.055126255739363" y="10.21049062231567" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""原创：孟宝兴
制作：刘护灵 （表格迭代+动态颜色）""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="1"/>
<startPoint x="-9.010969642708897" y="-2.9614975151913745" z="1.0"/>
</element>
</construction>
</geogebra>