圆锥曲线解答题交互演示
2020-02-29 06:53
本GeoGebra范例演示圆锥曲线的解答题构造过程。通过Intersect（交点）、OrthogonalLine（垂线）、Ray（射线）、Segment（线段）、Line（直线）等几何作图命令，构建圆锥曲线相关的几何图形与辅助线。范例包含多个关键点（A、B、C、D、E等）和直线对象，并设有输入框（InputBox）供用户交互输入参数，动态展示圆锥曲线的几何性质与解题思路。适用于高中解析几何中圆锥曲线综合题的可视化教学与探究。
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<expression label="text1" exp=""由已知，直线AM的方程为：y=kx+m\\ 
∴N(-\frac{m}{k},0)\\
∵M是AN的中点\\
∴A(\frac{m}{k},2m)\\
∴D(\frac{m}{k},-2m)\\
∴k^{'}=\frac{3m}{-\frac{m}{k}}=-3k\\
∴3k+k^{'}=3k+(-3k)=0，即证""/>
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<expression label="text2" exp=""直线AM的方程联立椭圆C的方程，得\\
\begin{cases} y=kx+m， \\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1， \end{cases} 消去y,得(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-6=0\\
利用韦达定理可知：x_{A}·x_{B}=\frac{2m^2-6}{1+2k^2},∴x_{B}=\frac{2m^2-6}{(1+2k^2)x_{A}}\\
∵3k+k^{'}=0,x_{A}=x_{D}\\
∴同理可得，x_{G}=\frac{2m^2-6}{(1+2k^{'}^2)x_{A}}=\frac{2m^2-6}{(1+18k^2)x_{A}}\\
∴k_{BG}=\frac{y_{B}-y_{G}}{x_{B}-x_{G}}=\frac{kx_{B}+m-(-3kx_{G}+m)}{x_{B}-x_{G}}=\frac{kx_{B}+3kx_{G}}{x_{B}-x_{G}}\\
=k\frac{\frac{2m^2-6}{(1+2k^2)x_{A}}+3\frac{2m^2-6}{(1+18k^2)x_{A}}}{\frac{2m^2-6}{(1+2k^2)x_{A}}-\frac{2m^2-6}{(1+18k^2)x_{A}}}\\
=\frac{1+6k^2}{4k}=\frac{1}{4k}+\frac{3k}{2}\\
∵k>0,k_{BG}=\frac{1}{4k}+\frac{3k}{2}≥2\sqrt{\frac{1}{4k}·\frac{3k}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\
当且仅当\frac{1}{4k}=\frac{3k}{2}时，即k=\frac{\sqrt{6}}{6}时，等号成立\\
故直线BG斜率的最小值为\frac{\sqrt{6}}{2}。\\""/>
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